Bài tập

31 người thi tuần này 4.6 2.7 K lượt thi 10 câu hỏi

Câu 1

Cho đường tròn (O, R) đường kính AB và dây AC không qua tâm O. Gọi H là trung điểm của AC
a, Tính số đo góc $\hat{A C B}$ và chứng minh OH//BC
b, Tiếp tuyên tại C của (O) cắt OH ở M. Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của (O) tại A
c, Vẽ CK vuông góc AB tại K. Gọi I là trung điểm của CK và đặt $\hat{C A B}$ = α. Chứng minh IK = Rsinα.cosα
d, Chứng minh ba điểm M, I, B thẳng hàng

Xem đáp án

Lời giải

a, HS tự làm

b, HS tự làm

c, IK = $\frac{1}{2}$ CK = $\frac{1}{2}$ AC.sinα = R.cosα.sinα

d, Giả sử BI cắt AM tại N. Vì IK//AM => MO = OP

=> $\frac{1}{O I^{2}} = \frac{1}{O M^{2}} + \frac{1}{O N^{2}}$

= $\frac{1}{O P^{2}} + \frac{1}{O N^{2}} = \frac{1}{O B^{2}}$ => M $\equiv$ N

Câu 2

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng d là tiếp tuyến vói (O) tại A. Trên d lây điểm M, đường thẳng MB cắt (O) tại C. Tiếp tuyến tại C cắt d tại I
a, Chứng minh O, A, I, C cùng thuộc một đường tròn
b, Chứng minh I là trung điểm của AM
c, Chứng minh: MB.MC = $O M^{2} - \frac{A B^{2}}{4}$
d, Khi M di động trên d, trọng tâm G của tam giác AOC thuộc đường cố định nào?

Xem đáp án

Lời giải

a, HS tự chứng minh

b, Ta có: $\hat{I A C} = \hat{I C A}$ => $\hat{I M C} = \hat{I C M}$ nếu IM = IA = IC

c, Sử dụng hệ thức lượng cho ∆AMB ta dùng Pytago cho tam giác AMB

d, Kẻ GD//AC (D $\in$ OC) => D cố định lại có OI $⊥$ AC => OG $⊥$ DG

=> G thuộc đường tròn đường kính OD cố định

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn tâm O' đường kính CH, hai đường tròn này cắt AB, AC thứ tự tại E và F
a, Tứ giác AEHF là hình gì?
b, Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
c, Chứng minh đường tròn đường kính OO' tiếp xúc với EF
d, Cho đường tròn tâm I bán kính r tiếp xúc với EF, (O) và (O’). Tính r theo BH và CH?

Xem đáp án

Lời giải

a, HS tự làm

b, HS tự làm

c, Chú ý hình thang vuông OEFO’ và xét đường trung bình của hình thang này

d, Từ I kẻ đường thảng song song với EF cắt OE tại M , cắt O’F tại N

Đặt BH=2R; CH= 2R’

∆IOM vuông tại M có:

$I M^{2} = I O^{2} - O M^{2}$ = ${(R + r)}^{2} - {(R - r)}^{2} = 4 R r$

Tương tự , ∆ION có $I N^{2} = 4 R' r$

Suy ra IM+IN=EF=AH

Vậy $2 \sqrt{R r} + 2 \sqrt{R' r} = 2 \sqrt{R R'}$

=> $\sqrt{r} (\sqrt{R} + \sqrt{R'}) = \sqrt{R R'}$

=> r = $\frac{R R'}{{(\sqrt{R} + \sqrt{R'})}^{2}}$

Câu 4

Cho đường tròn (O) đường kính CD = 2R, M là điểm thuộc (O) sao cho MC < MD. Gọi K là trung điểm của CM, tia OK cắt tiếp tuyến Cx tại A
a, Chứng minh OA // MD. Từ đó suy ra MA là tiếp tuyến của (O)
b, Gọi B là giao điểm của AM và tiếp tuyến Dy của (O), H là giao điểm của OB và MD. Khi M thay đổi, chứng minh (KO.KA + HO.HB) không phụ thuộc vị trí của M
c, Giả sử CM = R, đường thẳng AB cắt CD tại S. Kẻ CE $⊥$ AB tại E. Chứng minh AE.SM = AM. SE
d, Khi M thay đổi, chứng minh giao điểm của AD và CB luôn thuộc một đường cố định

Xem đáp án

Lời giải

a, HS tự chứng minh

b, Chứng minh KA .KO + HB.HO = $K H^{2} = M O^{2} = R^{2}$ không đổi

c, Với giả thiết này thì ∆CMO đều và $\hat{C O M} = 60^{0}$

=> $\hat{E C A} = \hat{M C A} = 30^{0}$

Dùng tính chất phân giác trong và ngoài của $\hat{M C E}$ được đpcm

d, Gọi giao điểm của CB và AD là I. Do AC//BD

Gọi giao điểm của MI với CD là G , chứng minh tương tự trên ta được IM=IG. Vậy I là trung điểm của MG => I thuộc đường nối các trung điểm của đoạn vuông góc từ M xuống CD

Câu 5

Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CO tại F
a, Chứng minh: EM.AM = MF.OA
b, Chứng minh: ES = EM = EF
c, Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng SB và (O). Chứng minh A, I, F thẳng hàng
d, Cho EM = R, tính FA.SM theo R
e, Kẻ MH $⊥$ AB. Xác định vị trí điểm M để tam giác MHO có diện tích đạt giá trị lớn nhất

Xem đáp án

Lời giải

a, Chứng minh ∆MEF:∆MOA

b, ∆MEF:∆MOA mà AO=OM => ME=EF

c, Chứng minh F là trực tâm của ∆SAB, AI là đường cao, chứng minh A,I,F thẳng hàng

d, FA.SM = 2 $R^{2}$

e, $S_{M H O} = \frac{1}{2}$ OH.MH ≤ $\frac{1}{2} . \frac{1}{2} M O^{2} = \frac{1}{4} R^{2}$

=> M ở chính giữa cung AC

Câu 6