19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 16)

Câu 1

Tính giá trị của biểu thức sau: $\begin{array}{l} A = \frac{4}{3 + \sqrt{5}} - \frac{8}{1 + \sqrt{5}} + \frac{15}{\sqrt{5}} \end{array}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} A = \frac{4}{3 + \sqrt{5}} - \frac{8}{1 + \sqrt{5}} + \frac{15}{\sqrt{5}} \\ = \frac{4 (3 - \sqrt{5})}{4} - \frac{8 (1 - \sqrt{5})}{- 4} + \frac{15 \sqrt{5}}{5} = 3 - \sqrt{5} + 2 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} = 5 \end{array}$

Câu 2

Tính giá trị của biểu thức sau: $B = \sqrt{\sqrt{2} + 2 \sqrt{\sqrt{2} - 1}} + \sqrt{\sqrt{2} - 2 \sqrt{\sqrt{2} - 1}}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} B = \sqrt{\sqrt{2} + 2 \sqrt{\sqrt{2} - 1}} + \sqrt{\sqrt{2} - 2 \sqrt{\sqrt{2} - 1}} \\ = \sqrt{{(\sqrt{\sqrt{2} - 1} + 1)}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{\sqrt{2} - 1} - 1)}^{2}} \\ = \sqrt{\sqrt{2} - 1} + 1 + 1 - \sqrt{\sqrt{2} - 1} \\ = 2 \end{array}$

Câu 3

Rút gọn biểu thức: $C = \frac{a^{2} - \sqrt{a}}{a + \sqrt{a} + 1} - \frac{a^{2} + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} + a + 1$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} C = \frac{a^{2} - \sqrt{a}}{a + \sqrt{a} + 1} - \frac{a^{2} + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} + a + 1 (D K : a \geq 0) \\ C = \frac{\sqrt{a} [{(\sqrt{a})}^{3} - 1]}{a + \sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} [{(\sqrt{a})}^{3} + 1]}{a - \sqrt{a} + 1} + a + 1 \end{array} \begin{array}{l} = \sqrt{a} (\sqrt{a} - 1) - \sqrt{a} (\sqrt{a} + 1) + a + 1 \\ = a - \sqrt{a} - a - \sqrt{a} + a + 1 \\ = {(\sqrt{a} - 1)}^{2} \end{array}$

Câu 4

Giải phương trình: $\frac{1}{3 x - 1} + \frac{1}{2 x + 4} = \frac{1}{9 x - 2} + \frac{1}{5 - 4 x}$

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{1}{3 x - 1} + \frac{1}{2 x + 4} = \frac{1}{9 x - 2} + \frac{1}{5 - 4 x} Đ K : x \neq \frac{1}{3}, x \neq - 2, x \neq \frac{2}{9}, x \neq \frac{5}{4}$

Ta có pt: $\frac{5 x + 3}{(3 x - 1) (2 x + 4)} = \frac{5 x + 3}{(9 x - 2) (5 - 4 x)}$

$\begin{array}{l} < = > [\begin{array}{l} x = \frac{- 3}{5} \\ (3 x - 1) (2 x + 4) = (9 x - 2) (5 - 4 x) \end{array} < = > [\begin{array}{l} x = - \frac{3}{5} \\ 6 x^{2} + 12 x - 2 x - 4 = - 36 x^{2} + 45 x + 8 x - 10 \end{array} \\ < = > [\begin{array}{l} x = - \frac{3}{5} (T M) \\ x = \frac{6}{7} (T M) \\ x = \frac{1}{6} (T M) \end{array} \end{array}$

Vậy phương trình đã có có 3 nghiệm phân biệt như trên.

Câu 5

Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = z \\ x^{3} + y^{3} = z^{2} \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $x^{3} + y^{3} = {(x + y)}^{2} < = > (x + y) (x^{2} - x y + y^{2} - x - y) = 0$

Vì x, y nguyên dương nên x+y > 0, ta có: $x^{2} - x y + y^{2} - x - y = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 (x^{2} - x y + y^{2} - x - y) = 0 \\ \Leftrightarrow {(x - y)}^{2} + {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 \end{array}$

Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp:

+ Trường hợp 1: $\{\begin{cases} x - y = 0 \\ {(x - 1)}^{2} = 1 \Leftrightarrow x = y = 2, z = 4 \\ {(y - 1)}^{2} = 1 \end{cases}$

+ Trường hợp 2: $\{\begin{cases} x - 1 = 0 \\ {(x - y)}^{2} = 1 \Leftrightarrow x = 1, y = 2, z = 3 \\ {(y - 1)}^{2} = 1 \end{cases}$

+ Trường hợp 3: $\{\begin{cases} y - 1 = 0 \\ {(x - y)}^{2} = 1 \\ {(x - 1)}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = 2, y = 1, z = 3$

Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4)

Câu 6