Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: x+y=zx3+y3=z2

Ta có: x3+y3=(x+y)2<=>(x+y)(x2−xy+y2−x−y)=0Vì x, y nguyên dương nên x+y > 0, ta có: x2−xy+y2−x−y=0⇔2(x2−xy+y2−x−y)=0⇔x-y2+x-12+(y-1)2=2Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp: + Trường hợp 1: x−y=0x-12=1⇔x=y=2,z=4y-12=1+ Trường hợp 2: x−1=0x-y2=1⇔x=1,y=2,z=3y-12=1+ Trường hợp 3: y−1=0x-y2=1x-12=1⇔x=2,y=1,z=3Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4)

Câu hỏi:

13/07/2024 4,678

Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = z \\ x^{3} + y^{3} = z^{2} \end{cases}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $x^{3} + y^{3} = {(x + y)}^{2} < = > (x + y) (x^{2} - x y + y^{2} - x - y) = 0$

Vì x, y nguyên dương nên x+y > 0, ta có: $x^{2} - x y + y^{2} - x - y = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 (x^{2} - x y + y^{2} - x - y) = 0 \\ \Leftrightarrow {(x - y)}^{2} + {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 \end{array}$

Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp:

+ Trường hợp 1: $\{\begin{cases} x - y = 0 \\ {(x - 1)}^{2} = 1 \Leftrightarrow x = y = 2, z = 4 \\ {(y - 1)}^{2} = 1 \end{cases}$

+ Trường hợp 2: $\{\begin{cases} x - 1 = 0 \\ {(x - y)}^{2} = 1 \Leftrightarrow x = 1, y = 2, z = 3 \\ {(y - 1)}^{2} = 1 \end{cases}$

+ Trường hợp 3: $\{\begin{cases} y - 1 = 0 \\ {(x - y)}^{2} = 1 \\ {(x - 1)}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = 2, y = 1, z = 3$

Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4)

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: p+(p+2)=2(p+1)

Vì p lẻ nên $(p + 1) ⋮ 2 = > 2 (p + 1) ⋮ 4$ (1)

Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3, mà p và (p+2) nguyên tố nên $(p + 1) ⋮ 3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $[p + (p + 2)] ⋮ 12$ (đpcm)

Câu 2

Tính giá trị của biểu thức sau: $\begin{array}{l} A = \frac{4}{3 + \sqrt{5}} - \frac{8}{1 + \sqrt{5}} + \frac{15}{\sqrt{5}} \end{array}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} A = \frac{4}{3 + \sqrt{5}} - \frac{8}{1 + \sqrt{5}} + \frac{15}{\sqrt{5}} \\ = \frac{4 (3 - \sqrt{5})}{4} - \frac{8 (1 - \sqrt{5})}{- 4} + \frac{15 \sqrt{5}}{5} = 3 - \sqrt{5} + 2 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} = 5 \end{array}$

Câu 3

Cho $\{\begin{cases} x > 0, y > 0, z > 0 \\ x y z = 1 \end{cases}$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y + 1} + \frac{1}{y + z + 1} + \frac{1}{z + x + 1} \leq 1$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một vận động viên A chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi cách nhau 6km với vận tốc 10km/h rồi chạy xuống dốc với vận tốc 15km/h. Vận động viên B chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi với vận tốc 12km/h và gặp vận động viên A đang chạy xuống. Hỏi điểm hai người gặp nhau cách đỉnh đồi bao nhiêu ki-lô-mét, biết rằng B chạy sau A là 15 phút.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Giải phương trình: $\frac{1}{3 x - 1} + \frac{1}{2 x + 4} = \frac{1}{9 x - 2} + \frac{1}{5 - 4 x}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M khác A, N khác B). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K.
c. Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = z \\ x^{3} + y^{3} = z^{2} \end{cases}$

Tính giá trị của biểu thức sau: $\begin{array}{l} A = \frac{4}{3 + \sqrt{5}} - \frac{8}{1 + \sqrt{5}} + \frac{15}{\sqrt{5}} \end{array}$

Cho $\{\begin{cases} x > 0, y > 0, z > 0 \\ x y z = 1 \end{cases}$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{x + y + 1} + \frac{1}{y + z + 1} + \frac{1}{z + x + 1} \leq 1$

Giải phương trình: $\frac{1}{3 x - 1} + \frac{1}{2 x + 4} = \frac{1}{9 x - 2} + \frac{1}{5 - 4 x}$

Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M khác A, N khác B). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K.
c. Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất