Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M khác A, N khác B). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K.

a. Chứng minh rằng: IK vuông góc với AB

b. Chứng minh rằng:AK.AN+BK.BM=AB²

Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12

Tính giá trị của biểu thức sau: $\begin{array}{l}A=\frac{4}{3+\sqrt{5}}-\frac{8}{1+\sqrt{5}}+\frac{15}{\sqrt{5}}\\ \end{array}$

Cho $\left\{\begin{array}{l}x>0,y>0,z>0\\ xyz=1\end{array}\right.$. Chứng minh rằng $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\le 1$

Một vận động viên A chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi cách nhau 6km với vận tốc 10km/h rồi chạy xuống dốc với vận tốc 15km/h. Vận động viên B chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi với vận tốc 12km/h và gặp vận động viên A đang chạy xuống. Hỏi điểm hai người gặp nhau cách đỉnh đồi bao nhiêu ki-lô-mét, biết rằng B chạy sau A là 15 phút.

Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=z\\ x^3+y^3=z^2\end{array}\right.$

Giải phương trình: $\frac{1}{3x-1}+\frac{1}{2x+4}=\frac{1}{9x-2}+\frac{1}{5-4x}$

Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M khác A, N khác B). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K.

c. Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất