19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 17)

Ta có với mọi số nguyên m thì m² chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4.

+ Nếu n² chia cho 5 dư 1 thì  $n^2=5k+1=>n^2+4=5k+5⋮5;k\in N^{*}.$

Nên n²+4 không là số nguyên tố

+ Nếu n² chia cho 5 dư 4 thì $n^2=5k+4=>n^2+16=5k+20⋮5;k\in N^{*}.$

Nên n²+16 không là số nguyên tố.

Vậy n² $⋮$ 5 hay n $⋮$5

$x^2-2y(x-y)=2(x+1)<=>x^2-2(y+1)x+2(y^2-1)=0\left(1\right)$

Để phương trình (1) có nghiệm nguyên x thì D' theo y phải là số chính phương

+ Nếu $\Delta \text{'}=4=>{(y-1)}^2=0<=>y=1$ thay vào phương trình (1) ta có :

$x^2-4x=0<=>x(2-4)<=>\left[\begin{array}{l}x=0\\ x-4\end{array}\right.$

+ Nếu $\Delta \text{'}=1=>{(y-1)}^2=3<=>y\notin Z.$

+ Nếu $\Delta \text{'}=0=>{(y-1)}^2=4<=>\left[\begin{array}{l}y=3\\ y=-1\end{array}\right.$

+ Với y = 3 thay vào phương trình (1) ta có:  $x^2-8x+16=0<=>{(x-4)}^2=0<=>x=4$

+ Với y = -1 thay vào phương trình (1) ta có: $x^2=0<=>x=0$

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên $(x;y)\in \text{{(0;1);(4;1);(4;3);(0;-1)}}$

$$\begin{gathered} A=\frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{5})}{2\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}+\frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{5})}{2\sqrt{2}-\sqrt{3-\sqrt{5}}} \\ 2\left[\frac{3+\sqrt{5}}{4+\sqrt{{(\sqrt{5}+1)}^2}}+\frac{3-\sqrt{5}}{4-\sqrt{{(\sqrt{5}-1)}^2}}\right]=2\left(\frac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}+\frac{3-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}\right) \\ 2\left[\frac{(3+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}\right]=2\left(\frac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5+15+3\sqrt{5}-5\sqrt{5}-5}{25-5}\right) \\ =2.\frac{20}{20}=2 \\ Vậy A=2 \end{gathered}$$

Phương trình

$\begin{array}{l}(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=m\\ <=>(x^2+2x-8)(x^2+2x-15)=m\left(1\right)\end{array}$

Đặt $x^2+2x+1={(x+1)}^2=y(y\ge 0)$ phương trình (1) trở thành:

$(y-9)(y-16)=m<=>y^2-25y+144-m=0\left(2\right)$

Nhận xét: Với mỗi giá trị y > 0 thì phương trình: (x+1)²=y có 2 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệtÛ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

$\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}>0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}=4m+49>0\\ 25>0\\ 144-m>0\end{array}\right.<=>\frac{-49}{4}<n<144$

Vậy với $\frac{-49}{4}<n<144$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. 

Điều kiện: $x\ge 1(*)$

Ta có: $\begin{array}{l}{x}^2-x-4=2\sqrt{x-1}(1-x)\\ <=>x^2+2x\sqrt{x-1}+x-1-2(x+\sqrt{x-1})-3=0\end{array}$

Đặt: $x+\sqrt{x-1}=y(y\ge 1)(**)$ phương trình trở thành $y^2-2y-3=0$

$y^2-2y-3=0<=>(y+1)(y-3)=0<=>\left[\begin{array}{l}y=-1\\ y=3\end{array}\right.$

+ Với y = -1 không thỏa mãn điều kiện (**).

+ Với y = 3 ta có phương trình:

$x+\sqrt{x-1}=3<=>\sqrt{x-1}=3-x<=>\left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x-1=9-6x+x^2\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ x^2-7x+10=0\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}x\le 3\\ \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=5\end{array}\right.\end{array}\right.<=>x=2$

thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x{y}^2-10y=0\\ x^2+6y^2=10\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x{y}^2-(x^2+6y^2)y=0\text{ (1)}\\ x^2+6y^2=10\text{ (2)}\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) ta có:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{x}^3+x{y}^2-(x^2+6y^2)y=0\\ <=>x^3+x{y}^2-x^{2}y-6y^3=0\\ <=>x^3-2x^{2}y+x^{2}y-2x{y}^2+3x{y}^2-6y^3=0\\ <=>(x-2y)(x^2+xy+3y^2)=0\end{array} \\ <=>\left[\begin{array}{l}x=2y\\ x^2+xy+3y^2=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

+ Trường hợp 1: $x^2+xy+3y^2=0<=>{(x+\frac{y}{2})}^2+\frac{11y^2}{4}=0=>x=y=0$

Với x= y = 0 không thỏa mãn phương trình (2).

+ Trường hợp 2: x= 2y thay vào phương trình (2) ta có: 

$4y^2+8y^2=12<=>y^2=1<=>\left[\begin{array}{l}y=1=>x=2\\ y=-1=>x=-2\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $(x;y)\in \text{{}(2;1);(-2;-1)\text{}}$