Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2-2y(x-y)=2(x+1)$

Ta có:

 $P=\frac{1}{x(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{y^2})}+\frac{1}{y(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2})}+\frac{1}{z(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}$

Đặt: $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c$ thì a,b,c>0 và a²+b²+c²=1

$P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{a(1-a^2)}+\frac{b^2}{b(1-b^2)}+\frac{c^2}{c(1-c^2)}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

$\begin{array}{l}{a}^2{\left(1-a^2\right)}^2=\frac{1}{2}.2a^2(1-a^2)(1-a^2)\le \frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)=\frac{4}{27}\\ =>a(1-a^2)\le \frac{2}{3\sqrt{3}}<=>\frac{a^2}{a(1-a^2)}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2\left(1\right)\end{array}$

Tương tự: $\frac{b^2}{b(1-b^2)}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}{b}^2\left(2\right);\frac{c^2}{c(1-c^2)}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}{c}^2\left(3\right)$

Từ (1); (2); (3) ta có $P\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}hay x=y=z=\sqrt{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x{y}^2-10y=0\\ x^2+6y^2=10\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x{y}^2-(x^2+6y^2)y=0\text{ (1)}\\ x^2+6y^2=10\text{ (2)}\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) ta có:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{x}^3+x{y}^2-(x^2+6y^2)y=0\\ <=>x^3+x{y}^2-x^{2}y-6y^3=0\\ <=>x^3-2x^{2}y+x^{2}y-2x{y}^2+3x{y}^2-6y^3=0\\ <=>(x-2y)(x^2+xy+3y^2)=0\end{array} \\ <=>\left[\begin{array}{l}x=2y\\ x^2+xy+3y^2=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

+ Trường hợp 1: $x^2+xy+3y^2=0<=>{(x+\frac{y}{2})}^2+\frac{11y^2}{4}=0=>x=y=0$

Với x= y = 0 không thỏa mãn phương trình (2).

+ Trường hợp 2: x= 2y thay vào phương trình (2) ta có: 

$4y^2+8y^2=12<=>y^2=1<=>\left[\begin{array}{l}y=1=>x=2\\ y=-1=>x=-2\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $(x;y)\in \text{{}(2;1);(-2;-1)\text{}}$