Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1x2+1y2+1z2=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=y2z2x(y2+z2)+z2x2y(z2+x2)+x2y2z(x2+y2)

Ta có: P=1x(1z2+1y2)+1y(1z2+1x2)+1z(1x2+1y2)Đặt: 1x=a;1y=b;1z=c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1P=ab2+c2+bc2+a2+ca2+b2=a2a(1−a2)+b2b(1−b2)+c2c(1−c2)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:a21-a22=12.2a2(1−a2)(1−a2)≤122a2+1−a2+1−a23=427=>a(1−a2)≤233<=>a2a(1−a2)≥332a2(1)Tương tự: b2b(1−b2)≥332b2(2);c2c(1−c2)≥332c2(3)Từ (1); (2); (3) ta có P≥332(a2+b2+c2)=332Đẳng thức xảy ra a=b=c=13hay x=y=z=3Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 332

Câu hỏi:

13/07/2024 10,530

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{y^{2} z^{2}}{x (y^{2} + z^{2})} + \frac{z^{2} x^{2}}{y (z^{2} + x^{2})} + \frac{x^{2} y^{2}}{z (x^{2} + y^{2})}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$P = \frac{1}{x (\frac{1}{z^{2}} + \frac{1}{y^{2}})} + \frac{1}{y (\frac{1}{z^{2}} + \frac{1}{x^{2}})} + \frac{1}{z (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}})}$

Đặt: $\frac{1}{x} = a; \frac{1}{y} = b; \frac{1}{z} = c$ thì a,b,c>0 và a²+b²+c²=1

$P = \frac{a}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b}{c^{2} + a^{2}} + \frac{c}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2}}{a (1 - a^{2})} + \frac{b^{2}}{b (1 - b^{2})} + \frac{c^{2}}{c (1 - c^{2})}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

$\begin{array}{l} a^{2} {(1 - a^{2})}^{2} = \frac{1}{2} .2 a^{2} (1 - a^{2}) (1 - a^{2}) \leq \frac{1}{2} (\frac{2 a^{2} + 1 - a^{2} + 1 - a^{2}}{3}) = \frac{4}{27} \\ = > a (1 - a^{2}) \leq \frac{2}{3 \sqrt{3}} < = > \frac{a^{2}}{a (1 - a^{2})} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2} (1) \end{array}$

Tương tự: $\frac{b^{2}}{b (1 - b^{2})} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} b^{2} (2); \frac{c^{2}}{c (1 - c^{2})} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} c^{2} (3)$

Từ (1); (2); (3) ta có $P \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra $a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}} h a y x = y = z = \sqrt{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

lê công ẩn

bài có cái gì sai sai

1 năm trước
Trả lời

Xem thêm ...

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} x^{3} + x y^{2} - 10 y = 0 \\ x^{2} + 6 y^{2} = 10 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

$\{\begin{cases} x^{3} + x y^{2} - 10 y = 0 \\ x^{2} + 6 y^{2} = 10 \end{cases} < = > \{\begin{cases} x^{3} + x y^{2} - (x^{2} + 6 y^{2}) y = 0 (1) \\ x^{2} + 6 y^{2} = 10 (2) \end{cases}$

Từ phương trình (1) ta có:

$\begin{array}{l} x^{3} + x y^{2} - (x^{2} + 6 y^{2}) y = 0 \\ < = > x^{3} + x y^{2} - x^{2} y - 6 y^{3} = 0 \\ < = > x^{3} - 2 x^{2} y + x^{2} y - 2 x y^{2} + 3 x y^{2} - 6 y^{3} = 0 \\ < = > (x - 2 y) (x^{2} + x y + 3 y^{2}) = 0 \end{array} < = > [\begin{array}{l} x = 2 y \\ x^{2} + x y + 3 y^{2} = 0 \end{array}$

+ Trường hợp 1: $x^{2} + x y + 3 y^{2} = 0 < = > {(x + \frac{y}{2})}^{2} + \frac{11 y^{2}}{4} = 0 = > x = y = 0$

Với x= y = 0 không thỏa mãn phương trình (2).

+ Trường hợp 2: x= 2y thay vào phương trình (2) ta có:

$4 y^{2} + 8 y^{2} = 12 < = > y^{2} = 1 < = > [\begin{array}{l} y = 1 = > x = 2 \\ y = - 1 = > x = - 2 \end{array}$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $(x; y) \in {(2; 1); (- 2; - 1)}$

Câu 2

Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n² + 4 và n² +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có với mọi số nguyên m thì m² chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4.

+ Nếu n² chia cho 5 dư 1 thì $n^{2} = 5 k + 1 = > n^{2} + 4 = 5 k + 5 ⋮ 5; k \in N^{*} .$

Nên n²+4 không là số nguyên tố

+ Nếu n² chia cho 5 dư 4 thì $n^{2} = 5 k + 4 = > n^{2} + 16 = 5 k + 20 ⋮ 5; k \in N^{*} .$

Nên n²+16 không là số nguyên tố.

Vậy n² $⋮$ 5 hay n $⋮$ 5

Câu 3

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2} - 2 y (x - y) = 2 (x + 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Giải phương trình: $x^{2} - x - 4 = 2 \sqrt{x - 1} (1 - x)$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sqrt{2} (3 + \sqrt{5})}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}} + \frac{\sqrt{2} (3 - \sqrt{5})}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho đường tròn (O; R) và dây cung $B C = R \sqrt{3}$ cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1x2+1y2+1z2=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=y2z2x(y2+z2)+z2x2y(z2+x2)+x2y2z(x2+y2)

lê công ẩn

Giải hệ phương trình: x3+xy2−10y=0x2+6y2=10

Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2 + 4 và n2 +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2−2y(x−y)=2(x+1)

Giải phương trình: x2−x−4=2x−1(1−x)

Rút gọn biểu thức: A=2(3+5)22+3+5+2(3−5)22−3−5

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{y^{2} z^{2}}{x (y^{2} + z^{2})} + \frac{z^{2} x^{2}}{y (z^{2} + x^{2})} + \frac{x^{2} y^{2}}{z (x^{2} + y^{2})}$

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} x^{3} + x y^{2} - 10 y = 0 \\ x^{2} + 6 y^{2} = 10 \end{cases}$

Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n² + 4 và n² +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2} - 2 y (x - y) = 2 (x + 1)$

Giải phương trình: $x^{2} - x - 4 = 2 \sqrt{x - 1} (1 - x)$

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sqrt{2} (3 + \sqrt{5})}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}} + \frac{\sqrt{2} (3 - \sqrt{5})}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}}$