Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1x2+1y2+1z2=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=y2z2x(y2+z2)+z2x2y(z2+x2)+x2y2z(x2+y2)

Ta có: P=1x(1z2+1y2)+1y(1z2+1x2)+1z(1x2+1y2)Đặt: 1x=a;1y=b;1z=c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1P=ab2+c2+bc2+a2+ca2+b2=a2a(1−a2)+b2b(1−b2)+c2c(1−c2)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:a21-a22=12.2a2(1−a2)(1−a2)≤122a2+1−a2+1−a23=427=>a(1−a2)≤233<=>a2a(1−a2)≥332a2(1)Tương tự: b2b(1−b2)≥332b2(2);c2c(1−c2)≥332c2(3)Từ (1); (2); (3) ta có P≥332(a2+b2+c2)=332Đẳng thức xảy ra a=b=c=13hay x=y=z=3Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 332

Câu hỏi:

13/07/2024 7,764

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{y^{2} z^{2}}{x (y^{2} + z^{2})} + \frac{z^{2} x^{2}}{y (z^{2} + x^{2})} + \frac{x^{2} y^{2}}{z (x^{2} + y^{2})}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$P = \frac{1}{x (\frac{1}{z^{2}} + \frac{1}{y^{2}})} + \frac{1}{y (\frac{1}{z^{2}} + \frac{1}{x^{2}})} + \frac{1}{z (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}})}$

Đặt: $\frac{1}{x} = a; \frac{1}{y} = b; \frac{1}{z} = c$ thì a,b,c>0 và a²+b²+c²=1

$P = \frac{a}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b}{c^{2} + a^{2}} + \frac{c}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2}}{a (1 - a^{2})} + \frac{b^{2}}{b (1 - b^{2})} + \frac{c^{2}}{c (1 - c^{2})}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

$\begin{array}{l} a^{2} {(1 - a^{2})}^{2} = \frac{1}{2} .2 a^{2} (1 - a^{2}) (1 - a^{2}) \leq \frac{1}{2} (\frac{2 a^{2} + 1 - a^{2} + 1 - a^{2}}{3}) = \frac{4}{27} \\ = > a (1 - a^{2}) \leq \frac{2}{3 \sqrt{3}} < = > \frac{a^{2}}{a (1 - a^{2})} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2} (1) \end{array}$

Tương tự: $\frac{b^{2}}{b (1 - b^{2})} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} b^{2} (2); \frac{c^{2}}{c (1 - c^{2})} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} c^{2} (3)$

Từ (1); (2); (3) ta có $P \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra $a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}} h a y x = y = z = \sqrt{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} x^{3} + x y^{2} - 10 y = 0 \\ x^{2} + 6 y^{2} = 10 \end{cases}$

Xem đáp án » 13/07/2024 8,040

Câu 2:

Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n² + 4 và n² +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,347

Câu 3:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2} - 2 y (x - y) = 2 (x + 1)$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,382

Câu 4:

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sqrt{2} (3 + \sqrt{5})}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}} + \frac{\sqrt{2} (3 - \sqrt{5})}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}}$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,133

Câu 5:

Cho đường tròn (O; R) và dây cung $B C = R \sqrt{3}$ cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
a) Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp.

Xem đáp án » 11/07/2024 3,103

Câu 6:

Cho đường tròn (O; R) và dây cung $B C = R \sqrt{3}$ cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,922

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

lê công ẩn
18:50 - 25/01/2024

bài có cái gì sai sai

0
Trả lời

Xem thêm ...

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Giải Sách Bài Tập Toán 9 Tập 1

35 đề 51,598 lượt thi Thi thử
Toán 9 Tập 1 - phần Đại số

29 đề 38,186 lượt thi Thi thử
Giải Sách Bài Tập Toán 9 Tập 2

35 đề 37,366 lượt thi Thi thử
Toán 9 Tập 2 - phần Đại số

29 đề 31,864 lượt thi Thi thử
Giải Toán 9 phần Hình học Tập 2

28 đề 28,651 lượt thi Thi thử
Giải Toán 9 phần Hình học Tập 1

26 đề 25,659 lượt thi Thi thử
19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải

20 đề 22,895 lượt thi Thi thử
Bộ Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án

20 đề 19,226 lượt thi Thi thử
Bài tập ôn tập chương 3 hình học 9 có đáp án

12 đề 13,545 lượt thi Thi thử
Bài tập ôn tập chương 3 đại số 9 có đáp án

8 đề 8,986 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1x2+1y2+1z2=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=y2z2x(y2+z2)+z2x2y(z2+x2)+x2y2z(x2+y2)

Nhà sách VIETJACK:

Giải hệ phương trình: x3+xy2−10y=0x2+6y2=10

Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2 + 4 và n2 +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2−2y(x−y)=2(x+1)

Rút gọn biểu thức: A=2(3+5)22+3+5+2(3−5)22−3−5

Bình luận

lê công ẩn 18:50 - 25/01/2024

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{y^{2} z^{2}}{x (y^{2} + z^{2})} + \frac{z^{2} x^{2}}{y (z^{2} + x^{2})} + \frac{x^{2} y^{2}}{z (x^{2} + y^{2})}$

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} x^{3} + x y^{2} - 10 y = 0 \\ x^{2} + 6 y^{2} = 10 \end{cases}$

Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n² + 4 và n² +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2} - 2 y (x - y) = 2 (x + 1)$

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sqrt{2} (3 + \sqrt{5})}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}} + \frac{\sqrt{2} (3 - \sqrt{5})}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}}$

lê công ẩn
18:50 - 25/01/2024