Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{y^2{z}^2}{x(y^2+z^2)}+\frac{z^2{x}^2}{y(z^2+x^2)}+\frac{x^2{y}^2}{z(x^2+y^2)}$

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x{y}^2-10y=0\\ x^2+6y^2=10\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x{y}^2-(x^2+6y^2)y=0\text{ (1)}\\ x^2+6y^2=10\text{ (2)}\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) ta có:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{x}^3+x{y}^2-(x^2+6y^2)y=0\\ <=>x^3+x{y}^2-x^{2}y-6y^3=0\\ <=>x^3-2x^{2}y+x^{2}y-2x{y}^2+3x{y}^2-6y^3=0\\ <=>(x-2y)(x^2+xy+3y^2)=0\end{array} \\ <=>\left[\begin{array}{l}x=2y\\ x^2+xy+3y^2=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

+ Trường hợp 1: $x^2+xy+3y^2=0<=>{(x+\frac{y}{2})}^2+\frac{11y^2}{4}=0=>x=y=0$

Với x= y = 0 không thỏa mãn phương trình (2).

+ Trường hợp 2: x= 2y thay vào phương trình (2) ta có: 

$4y^2+8y^2=12<=>y^2=1<=>\left[\begin{array}{l}y=1=>x=2\\ y=-1=>x=-2\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $(x;y)\in \text{{}(2;1);(-2;-1)\text{}}$

Ta có với mọi số nguyên m thì m² chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4.

+ Nếu n² chia cho 5 dư 1 thì  $n^2=5k+1=>n^2+4=5k+5⋮5;k\in N^{*}.$

Nên n²+4 không là số nguyên tố

+ Nếu n² chia cho 5 dư 4 thì $n^2=5k+4=>n^2+16=5k+20⋮5;k\in N^{*}.$

Nên n²+16 không là số nguyên tố.

Vậy n² $⋮$ 5 hay n $⋮$5