Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1x2+1y2+1z2=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=y2z2x(y2+z2)+z2x2y(z2+x2)+x2y2z(x2+y2)

Ta có: P=1x(1z2+1y2)+1y(1z2+1x2)+1z(1x2+1y2)Đặt: 1x=a;1y=b;1z=c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1P=ab2+c2+bc2+a2+ca2+b2=a2a(1−a2)+b2b(1−b2)+c2c(1−c2)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:a21-a22=12.2a2(1−a2)(1−a2)≤122a2+1−a2+1−a23=427=>a(1−a2)≤233<=>a2a(1−a2)≥332a2(1)Tương tự: b2b(1−b2)≥332b2(2);c2c(1−c2)≥332c2(3)Từ (1); (2); (3) ta có P≥332(a2+b2+c2)=332Đẳng thức xảy ra a=b=c=13hay x=y=z=3Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 332

Câu hỏi:

13/07/2024 9,522

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{y^{2} z^{2}}{x (y^{2} + z^{2})} + \frac{z^{2} x^{2}}{y (z^{2} + x^{2})} + \frac{x^{2} y^{2}}{z (x^{2} + y^{2})}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$P = \frac{1}{x (\frac{1}{z^{2}} + \frac{1}{y^{2}})} + \frac{1}{y (\frac{1}{z^{2}} + \frac{1}{x^{2}})} + \frac{1}{z (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}})}$

Đặt: $\frac{1}{x} = a; \frac{1}{y} = b; \frac{1}{z} = c$ thì a,b,c>0 và a²+b²+c²=1

$P = \frac{a}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b}{c^{2} + a^{2}} + \frac{c}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2}}{a (1 - a^{2})} + \frac{b^{2}}{b (1 - b^{2})} + \frac{c^{2}}{c (1 - c^{2})}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

$\begin{array}{l} a^{2} {(1 - a^{2})}^{2} = \frac{1}{2} .2 a^{2} (1 - a^{2}) (1 - a^{2}) \leq \frac{1}{2} (\frac{2 a^{2} + 1 - a^{2} + 1 - a^{2}}{3}) = \frac{4}{27} \\ = > a (1 - a^{2}) \leq \frac{2}{3 \sqrt{3}} < = > \frac{a^{2}}{a (1 - a^{2})} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2} (1) \end{array}$

Tương tự: $\frac{b^{2}}{b (1 - b^{2})} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} b^{2} (2); \frac{c^{2}}{c (1 - c^{2})} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} c^{2} (3)$

Từ (1); (2); (3) ta có $P \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra $a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}} h a y x = y = z = \sqrt{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

lê công ẩn
18:50 - 25/01/2024

bài có cái gì sai sai

0
Trả lời

Xem thêm ...

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} x^{3} + x y^{2} - 10 y = 0 \\ x^{2} + 6 y^{2} = 10 \end{cases}$

Xem đáp án » 13/07/2024 9,806

Câu 2:

Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n² + 4 và n² +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,740

Câu 3:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2} - 2 y (x - y) = 2 (x + 1)$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,682

Câu 4:

Giải phương trình: $x^{2} - x - 4 = 2 \sqrt{x - 1} (1 - x)$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,025

Câu 5:

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sqrt{2} (3 + \sqrt{5})}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}} + \frac{\sqrt{2} (3 - \sqrt{5})}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}}$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,864

Câu 6:

Cho đường tròn (O; R) và dây cung $B C = R \sqrt{3}$ cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
a) Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp.

Xem đáp án » 11/07/2024 3,803

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP