Cho đường tròn (O; R) và dây cung $BC=R\sqrt{3}$ cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.

c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{y^2{z}^2}{x(y^2+z^2)}+\frac{z^2{x}^2}{y(z^2+x^2)}+\frac{x^2{y}^2}{z(x^2+y^2)}$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x{y}^2-10y=0\\ x^2+6y^2=10\end{array}\right.$

Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n² + 4 và n² +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.

Cho đường tròn (O; R) và dây cung $BC=R\sqrt{3}$ cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.

a)     Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp.

Cho đường tròn (O; R) và dây cung $BC=R\sqrt{3}$ cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.

b)     Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.

Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{5})}{2\sqrt{2}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}+\frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{5})}{2\sqrt{2}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}$