19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải (Đề 19)

$\begin{array}{l} A = \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1} + \frac{1}{x - \sqrt{x}} \\ = \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} - \frac{2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} \\ = \frac{(\sqrt{x} - 1) - 2 \sqrt{x} \sqrt{x} + (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{- 2 x + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{- 2 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{- 2}{\sqrt{x} + 1} \end{array}$

Câu 2/9

Tính giá trị biểu thức: $B = \sqrt[3]{85 + 62 \sqrt{7}} + \sqrt[3]{85 - 62 \sqrt{7}}$

Xem đáp án

Lời giải

$B = \sqrt[3]{85 + 62 \sqrt{7}} + \sqrt[3]{85 - 62 \sqrt{7}}$

Đặt $a = \sqrt[3]{85 + 62 \sqrt{7}}; b = \sqrt[3]{85 - 62 \sqrt{7}} = > a + b = B$

Mặt khác $a^{3} + b^{3} = (85 + 62 \sqrt{7}) + (85 - 62 \sqrt{7}) = 170 a b = \sqrt[3]{85 + 62 \sqrt{7}} \sqrt[3]{85 - 62 \sqrt{7}} = \sqrt[3]{85^{2} - {(62 \sqrt{7})}^{2}} = \sqrt[3]{- 19683} = - 27$

Ta có:

$\begin{array}{l} B^{3} = {(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) \\ = 170 - 3.27. B \\ = > B^{3} + 81 B - 170 = 0 \\ = > (B - 2) (\underset{> 0}{\underset{⏟}{B^{2} + 2 B + 85}}) = 0 \\ = > B = 2 \end{array}$

Câu 3/9

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 2 y = 2 m + 1 \\ 4 x + 2 y = 5 m - 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

$\{\begin{cases} x + 2 y = 2 m + 1 \\ 4 x + 2 y = 5 m - 1 \end{cases} (1) \begin{array}{l} (1) < = > \{\begin{cases} m = \frac{x + 2 y - 1}{2} \\ m = \frac{4 x + 2 y + 1}{5} \end{cases} = > \frac{x + 2 y - 1}{2} = \frac{3 x + 2 y + 1}{5} \\ = > 5 (x + 2 y - 1) = 2 (4 x + 2 y + 1) = > 3 x - 6 y + 7 = 0 \end{array}$

Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x₀; y₀) thì

$3 x_{0} - 6 y_{0} + 7 = 0 = > 6 y_{0} - 7 = 3 x_{0} ⋮ 3 = > 7 ⋮ 3$ (vô lý)

Vậy hệ phương trình không có nghiệm nguyên ∀ m.

Câu 4/9

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x² cắt đường thẳng d: y = mx – 2 tại 2 điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) thỏa mãn $y_{1} + y_{2} = 2 (x_{1} + x_{2}) - 1$

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d: $x^{2} - m x + 2 = 0$ (1)

P) cắt d tại hai điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆ = m² – 4.2 > 0 ⇔ m² > 8 ⇔ m > $2 \sqrt{2}$ hoặc m<- $2 \sqrt{2}$

Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của (1). Áp dụng định lí Vi–ét ta có x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = 2.

Do A, B ∈ d nên y₁ = mx₁ – 2 và y₂ = mx₂ – 2.

Ta có:

$\begin{array}{l} y_{1} + y_{2} = 2 (x_{1} + x_{1}) - 1 \\ < = > m x_{1} - 2 + m x_{2} - 2 = 2 (x_{1} + x_{2}) - 1 \\ < = > (m - 2) (x_{1} + x_{2}) - 3 = 0 \\ < = > m (m - 2) - 3 = 0 \\ < = > m^{2} - 2 m - 3 = 0 \end{array}$

⇔ m = –1 (loại) hoặc m = 3 (thỏa mãn)

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

Câu 5/9

Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 9} - \sqrt{x^{2} - 16} = 1$

Xem đáp án

Lời giải

$\sqrt{x^{2} - 9} - \sqrt{x^{2} - 16} = 1 (1)$

ĐK: x² ≥ 16 ⇔ x ≥ 4 hoặc x ≤ –4.

$\begin{array}{l} (I) < = > \sqrt{x^{2} - 9} = \sqrt{x^{2} - 16} + 1 \\ < = > x^{2} - 9 = x^{2} - 16 + 2 \sqrt{x^{2} - 16} + 1 \\ < = > 6 = 2 \sqrt{x^{2} - 16} \\ < = > 3 = \sqrt{x^{2} - 16} \\ < = > x^{2} - 25 = 0 \\ < = > x = \pm 5 \end{array}$

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S={–5;5}.

Câu 6/9

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} + 4 y = y^{3} + 16 x \\ 1 + y^{2} = 5 (1 + x^{2}) \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

$\{\begin{cases} x^{3} + 4 y = y^{3} + 16 x \\ 1 + y^{2} = 5 (1 + x^{2}) \end{cases} (1)$

– Xét x = 0, hệ (I) trở thành $\{\begin{cases} 4 y = y^{3} \\ y^{2} = 4 \end{cases} < = > y = \pm 2$

– Xét x ≠ 0, đặt $\frac{y}{x} = t < = > y = x t$ . Hệ (I) trở thành

$\{\begin{cases} x^{3} + 4 x t = x^{3} t^{3} + 16 x \\ 1 + x^{2} t^{2} = 5 (1 + x^{2}) \end{cases} < = > \{\begin{cases} x^{3} (t^{3} - 1) = 4 x t - 16 x \\ x^{2} (t^{2} - 5) = 4 \end{cases} < = > \{\begin{cases} x^{3} (t^{3} - 1) = 4 x (t - 4) (1) \\ 4 = x^{2} (t^{2} - 5) (2) \end{cases}$

Nhân từng vế của (1) và (2), ta được phương trình hệ quả

$\begin{array}{l} 4 x^{3} (t^{3} - 1) = 4 x^{3} (t - 4) (t^{2} - 5) \\ < = > t^{3} - 1 = t^{3} - 4 t^{2} - 5 t + 20 (Do x \neq 0) \\ {<=>4t}^{2} + 5 t - 21 = 0 \\ < = > [\begin{array}{l} t = - 3 \\ t = \frac{7}{4} \end{array} \end{array}$

+ Với t = – 3, thay vào (2) được x² = 1 ⇔ x = ±1.

x = 1 thì y = –3, thử lại (1;–3) là một nghiệm của (I)

x = –1 thì y = 3, thử lại (–1;3) là một nghiệm của (I)

+ Với t = 7/4 , thay vào (2) được $x^{2} = - \frac{64}{31}$ (loại)

Vậy hệ (I) có các nghiệm (0;2), (0;–2), (1;–3), (–1;3).

Câu 7/9

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
1. Tính số đo góc BIF

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/9

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
2.     Giả sử M là điểm di chuyển trên đoạn CE .
a.      Khi AM = AB, gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng ba điểm A,O,H thẳng hàng, từ đó suy ra tứ giác ABHI nội tiếp.
b.     Gọi N là giao điểm của đường thẳng BM với cung nhỏ EF của (O), P, Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE và DF. Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng PQ max.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 9/9

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq 3$ . Chứng minh rằng: $\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} + \frac{1}{2} (a b + b c + c a) \geq 3$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 3/9 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1} + \frac{1}{x - \sqrt{x}}$

Tính giá trị biểu thức: $B = \sqrt[3]{85 + 62 \sqrt{7}} + \sqrt[3]{85 - 62 \sqrt{7}}$