Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 1a+1b+1c≤3 . Chứng minh rằng: a1+b2+b1+c2+c1+a2+12(ab+bc+ca)≥3

Ta chứng minh BĐT(a+b+c)(1a+1b+1c)≥9(*)(*)<=>3+(ab+ba)+(bc+cb)+(ca+ac)≥9Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:ab+ba≥2bc+cb≥2ca+ac≥2=>(*) đúng =>9a+b+c≤1a+1b+1c≤3=>a+b+c≥3Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có 1+b2≥2bTa có: a1+b2=a−ab21+b2≥a−ab22b=a−ab2(1) Tương tự ta có: b1+c2≥b−bc2(2)c1+a2≥c−ca2(3) Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:a1+b2+b1+c2+c1+a2≥a+b+c−12(ab+bc+ca)=>a1+b2+b1+c2+c1+a2+12(ab+bc+ca)≥a+b+c≥3

Câu hỏi:

13/07/2024 12,009

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq 3$ . Chứng minh rằng: $\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} + \frac{1}{2} (a b + b c + c a) \geq 3$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta chứng minh BĐT

$\begin{array}{l} (a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9 (*) \\ (*) < = > 3 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b}) + (\frac{c}{a} + \frac{a}{c}) \geq 9 \end{array}$

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \\ \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2 \\ \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \geq 2 \end{array}$ =>(*) đúng

$= > \frac{9}{a + b + c} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq 3 = > a + b + c \geq 3$

Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có $1 + b^{2} \geq 2 b$

Ta có: $\frac{a}{1 + b^{2}} = a - \frac{a b^{2}}{1 + b^{2}} \geq a - \frac{a b^{2}}{2 b} = a - \frac{a b}{2} (1)$

Tương tự ta có:

$\begin{array}{l} \frac{b}{1 + c^{2}} \geq b - \frac{b c}{2} (2) \\ \frac{c}{1 + a^{2}} \geq c - \frac{c a}{2} (3) \end{array}$

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq a + b + c - \frac{1}{2} (a b + b c + c a) \\ = > \frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} + \frac{1}{2} (a b + b c + c a) \geq a + b + c \geq 3 \end{array}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
1. Tính số đo góc BIF

Xem đáp án

Lời giải

1. Vì BD, BF là các tiếp tuyến của (O) nên OD ⊥ BD, OF ⊥ BF.

Xét 2 tam giác vuông OBD và OBF có

$\begin{array}{l} O B chung \\ OBD=OBF(gt) \end{array}\} = > Δ O B D = Δ O B F$ (cạnh huyền–góc nhọn)

⇒ BD = BF

Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K.

Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K. $D O E = 90^{o}$

Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cho đường tròn (O), ta có:

$D F E = \frac{1}{2} D O E = 45^{o}$

⇒ ∆ KIF vuông cân tại K.

=>BIF=45^o

Câu 2

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} + 4 y = y^{3} + 16 x \\ 1 + y^{2} = 5 (1 + x^{2}) \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

$\{\begin{cases} x^{3} + 4 y = y^{3} + 16 x \\ 1 + y^{2} = 5 (1 + x^{2}) \end{cases} (1)$

– Xét x = 0, hệ (I) trở thành $\{\begin{cases} 4 y = y^{3} \\ y^{2} = 4 \end{cases} < = > y = \pm 2$

– Xét x ≠ 0, đặt $\frac{y}{x} = t < = > y = x t$ . Hệ (I) trở thành

$\{\begin{cases} x^{3} + 4 x t = x^{3} t^{3} + 16 x \\ 1 + x^{2} t^{2} = 5 (1 + x^{2}) \end{cases} < = > \{\begin{cases} x^{3} (t^{3} - 1) = 4 x t - 16 x \\ x^{2} (t^{2} - 5) = 4 \end{cases} < = > \{\begin{cases} x^{3} (t^{3} - 1) = 4 x (t - 4) (1) \\ 4 = x^{2} (t^{2} - 5) (2) \end{cases}$

Nhân từng vế của (1) và (2), ta được phương trình hệ quả

$\begin{array}{l} 4 x^{3} (t^{3} - 1) = 4 x^{3} (t - 4) (t^{2} - 5) \\ < = > t^{3} - 1 = t^{3} - 4 t^{2} - 5 t + 20 (Do x \neq 0) \\ {<=>4t}^{2} + 5 t - 21 = 0 \\ < = > [\begin{array}{l} t = - 3 \\ t = \frac{7}{4} \end{array} \end{array}$

+ Với t = – 3, thay vào (2) được x² = 1 ⇔ x = ±1.

x = 1 thì y = –3, thử lại (1;–3) là một nghiệm của (I)

x = –1 thì y = 3, thử lại (–1;3) là một nghiệm của (I)

+ Với t = 7/4 , thay vào (2) được $x^{2} = - \frac{64}{31}$ (loại)

Vậy hệ (I) có các nghiệm (0;2), (0;–2), (1;–3), (–1;3).

Câu 3

Tính giá trị biểu thức: $B = \sqrt[3]{85 + 62 \sqrt{7}} + \sqrt[3]{85 - 62 \sqrt{7}}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1} + \frac{1}{x - \sqrt{x}}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 9} - \sqrt{x^{2} - 16} = 1$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
2.     Giả sử M là điểm di chuyển trên đoạn CE .
a.      Khi AM = AB, gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng ba điểm A,O,H thẳng hàng, từ đó suy ra tứ giác ABHI nội tiếp.
b.     Gọi N là giao điểm của đường thẳng BM với cung nhỏ EF của (O), P, Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE và DF. Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng PQ max.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq 3$ . Chứng minh rằng: $\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} + \frac{1}{2} (a b + b c + c a) \geq 3$

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
1. Tính số đo góc BIF

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} + 4 y = y^{3} + 16 x \\ 1 + y^{2} = 5 (1 + x^{2}) \end{cases}$

Tính giá trị biểu thức: $B = \sqrt[3]{85 + 62 \sqrt{7}} + \sqrt[3]{85 - 62 \sqrt{7}}$

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1} + \frac{1}{x - \sqrt{x}}$

Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 9} - \sqrt{x^{2} - 16} = 1$