Rút gọn biểu thức: $A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x-1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}}$

Ta chứng minh BĐT

$\begin{array}{l}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 9(*)\\ (*)<=>3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})\ge 9\end{array}$

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\\ \frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge 2\\ \frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge 2\end{array}$=>(*) đúng

$=>\frac{9}{a+b+c}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le 3=>a+b+c\ge 3$

Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có $1+b^2\ge 2b$

Ta có: $\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{a{b}^2}{1+b^2}\ge a-\frac{a{b}^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\left(1\right)$

Tương tự ta có: 

$\begin{array}{l}\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\left(2\right)\\ \frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\left(3\right)\end{array}$

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\\ =>\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\ge a+b+c\ge 3\end{array}$

1.     Vì BD, BF là các tiếp tuyến của (O) nên OD ⊥ BD, OF ⊥ BF.

Xét 2 tam giác vuông OBD và OBF có

$\left.\begin{array}{l}OB\text{ chung}\\ \text{OBD=OBF(gt)}\end{array}\right\}=>\Delta OBD=\Delta OBF$ (cạnh huyền–góc nhọn)

⇒ BD = BF

Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K.

Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K.$DOE={90}^o$

Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cho đường tròn (O), ta có:

$DFE=\frac{1}{2}DOE={45}^o$

⇒ ∆ KIF vuông cân tại K.

=>BIF=45^o