Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.

2.     Giả sử M là điểm di chuyển trên đoạn CE .

a.      Khi AM = AB, gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng ba điểm A,O,H thẳng hàng, từ đó suy ra tứ giác ABHI nội tiếp.

b.     Gọi N là giao điểm của đường thẳng BM với cung nhỏ EF của (O), P, Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE và DF. Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng PQ max.

Ta chứng minh BĐT

$\begin{array}{l}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 9(*)\\ (*)<=>3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})\ge 9\end{array}$

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\\ \frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge 2\\ \frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge 2\end{array}$=>(*) đúng

$=>\frac{9}{a+b+c}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le 3=>a+b+c\ge 3$

Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có $1+b^2\ge 2b$

Ta có: $\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{a{b}^2}{1+b^2}\ge a-\frac{a{b}^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\left(1\right)$

Tương tự ta có: 

$\begin{array}{l}\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\left(2\right)\\ \frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\left(3\right)\end{array}$

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\\ =>\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\ge a+b+c\ge 3\end{array}$

1.     Vì BD, BF là các tiếp tuyến của (O) nên OD ⊥ BD, OF ⊥ BF.

Xét 2 tam giác vuông OBD và OBF có

$\left.\begin{array}{l}OB\text{ chung}\\ \text{OBD=OBF(gt)}\end{array}\right\}=>\Delta OBD=\Delta OBF$ (cạnh huyền–góc nhọn)

⇒ BD = BF

Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K.

Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K.$DOE={90}^o$

Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cho đường tròn (O), ta có:

$DFE=\frac{1}{2}DOE={45}^o$

⇒ ∆ KIF vuông cân tại K.

=>BIF=45^o