Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
2.     Giả sử M là điểm di chuyển trên đoạn CE .
a.      Khi AM = AB, gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng ba điểm A,O,H thẳng hàng, từ đó suy ra tứ giác ABHI nội tiếp.
b.     Gọi N là giao điểm của đường thẳng BM với cung nhỏ EF của (O), P, Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE và DF. Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng PQ max.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì DPN+DQN=90^o+90^o=180^o nên DPNQ là tứ giác nội tiếp

=>QPN=QDN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QN) (5)

Mặt khác DENF là tứ giác nội tiếp nên QDN=FEN (6)

Từ (5) và (6) ta có FEN=QPN (7)

Tương tự ta có: EFN=PQN (8)

Từ (7) và (8) suy ra $Δ N P Q ~ Δ N E F (g . g) = > \frac{P Q}{E F} = \frac{N Q}{N F}$

Theo quan hệ đường vuông góc – đường xiên, ta có

$N Q \leq N F = > \frac{P Q}{E F} = \frac{N Q}{N F} \leq 1 = > P Q \leq E F$

Dấu bằng xảy ra khi Q ≡ F ⇔ NF ⊥ DF ⇔ D, O, N thẳng hàng.

Do đó PQ max khi M là giao điểm của AC và BN, với N là điểm đối xứng với D qua O.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq 3$ . Chứng minh rằng: $\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} + \frac{1}{2} (a b + b c + c a) \geq 3$

Xem đáp án

Lời giải

Ta chứng minh BĐT

$\begin{array}{l} (a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9 (*) \\ (*) < = > 3 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b}) + (\frac{c}{a} + \frac{a}{c}) \geq 9 \end{array}$

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \\ \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2 \\ \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \geq 2 \end{array}$ =>(*) đúng

$= > \frac{9}{a + b + c} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq 3 = > a + b + c \geq 3$

Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có $1 + b^{2} \geq 2 b$

Ta có: $\frac{a}{1 + b^{2}} = a - \frac{a b^{2}}{1 + b^{2}} \geq a - \frac{a b^{2}}{2 b} = a - \frac{a b}{2} (1)$

Tương tự ta có:

$\begin{array}{l} \frac{b}{1 + c^{2}} \geq b - \frac{b c}{2} (2) \\ \frac{c}{1 + a^{2}} \geq c - \frac{c a}{2} (3) \end{array}$

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq a + b + c - \frac{1}{2} (a b + b c + c a) \\ = > \frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} + \frac{1}{2} (a b + b c + c a) \geq a + b + c \geq 3 \end{array}$

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
1. Tính số đo góc BIF

Xem đáp án

Lời giải

1. Vì BD, BF là các tiếp tuyến của (O) nên OD ⊥ BD, OF ⊥ BF.

Xét 2 tam giác vuông OBD và OBF có

$\begin{array}{l} O B chung \\ OBD=OBF(gt) \end{array}\} = > Δ O B D = Δ O B F$ (cạnh huyền–góc nhọn)

⇒ BD = BF

Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K.

Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K. $D O E = 90^{o}$

Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cho đường tròn (O), ta có:

$D F E = \frac{1}{2} D O E = 45^{o}$

⇒ ∆ KIF vuông cân tại K.

=>BIF=45^o

Câu 3