Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
1.     Tính số đo góc BIF

Ta chứng minh BĐT

$\begin{array}{l}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 9(*)\\ (*)<=>3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})\ge 9\end{array}$

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\\ \frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge 2\\ \frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge 2\end{array}$=>(*) đúng

$=>\frac{9}{a+b+c}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le 3=>a+b+c\ge 3$

Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có $1+b^2\ge 2b$

Ta có: $\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{a{b}^2}{1+b^2}\ge a-\frac{a{b}^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\left(1\right)$

Tương tự ta có: 

$\begin{array}{l}\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\left(2\right)\\ \frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\left(3\right)\end{array}$

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\\ =>\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\ge a+b+c\ge 3\end{array}$

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3+4y=y^3+16x\\ 1+y^2=5(1+x^2)\end{array}\right.\left(1\right)$

– Xét x = 0, hệ (I) trở thành $\left\{\begin{array}{l}4y=y^3\\ y^2=4\end{array}\right.<=>y=\pm 2$

– Xét x ≠ 0, đặt $\frac{y}{x}=t<=>y=xt$. Hệ (I) trở thành

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3+4xt=x^3{t}^3+16x\\ 1+x^2{t}^2=5(1+x^2)\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}{x}^3(t^3-1)=4xt-16x\\ x^2(t^2-5)=4\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}{x}^3(t^3-1)=4x(t-4)\left(1\right)\\ 4=x^2(t^2-5)\left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân từng vế của (1) và (2), ta được phương trình hệ quả

$\begin{array}{l}4x^3(t^3-1)=4x^3(t-4)(t^2-5)\\ <=>t^3-1=t^3-4t^2-5t+20\text{ (Do x}\ne \text{0)}\\ {\text{<=>4t}}^2+5t-21=0\\ <=>\left[\begin{array}{l}t=-3\\ t=\frac{7}{4}\end{array}\right.\end{array}$

+ Với t = – 3, thay vào (2) được x² = 1 ⇔ x = ±1.

x = 1 thì y = –3, thử lại (1;–3) là một nghiệm của (I)

x = –1 thì y = 3, thử lại (–1;3) là một nghiệm của (I)

+ Với t = 7/4 , thay vào (2) được $x^2=-\frac{64}{31}$ (loại)

Vậy hệ (I) có các nghiệm (0;2), (0;–2), (1;–3), (–1;3).