Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (C) tâm O bán kính R.

Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC cắt nhau tại H (với E thuộc BC, K thuộc AC).

1. Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp được trong một đường tròn.

2. Chứng minh $CE.CB=CK.CA$.

3. Chứng minh $\widehat{OCA}=\widehat{BAE}$.

4. Cho B, C cố định và A di động trên (C) nhưng vẫn thoả mãn điều kiện tam giác ABC nhọn;

khi đó H thuộc một đường tròn (T) cố định. Xác định tâm I và tính bán kính r của đường tròn (T) biết R=3 cm

+ Gọi số học sinh của lớp 9A là x học sinh ($x\in {\mathbb{N}}^{*}$)

+ Gọi số học sinh của lớp 9B là y học sinh ($y\in {\mathbb{N}}^{*}$).

+ Ta có học sinh lớp 9A ủng hộ: 6x quyển sách giáo khoa và 3x quyển sách tham khảo. 

+ Ta có học sinh lớp 9B ủng hộ: 5y quyển sách giáo khoa và 4y quyển sách tham khảo. 

+ Vì tổng số sách học sinh hai lớp ủng hộ là 738 quyển, nên ta có phương trình: $(6x+3x)+(5y+4y)=738$  hay

$9x+9y=738\iff x+y=82$  (1).

+ Số sách giáo khoa học sinh hai lớp ủng hộ là 6x+5y (quyển)

+ Số sách tham khảo học sinh hai lớp ủng hộ là 3x+4y (quyển)

+ Vì số sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển nên ta có phương trình: $(6x+5y)-(3x+4y)=166\iff 3x+y=166$   (2).

+ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=82\\ 3x+y=166\end{array}\right.$

+ Giải hệ trên được nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=42\\ y=40\end{array}\right.$ (thoả mãn điều kiện)

+ Vậy lớp 9A có 42 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh

a. + Với $m=-\frac{1}{2}$  phương trình (1) trở thành $x^2-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}\right.$.

+ Vậy khi $m=-\frac{1}{2}$ phương trình có hai nghiệm x= 0 và x= 4.

b. + Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 

                           $\left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(2m+5\right)}^2-4\left(2m+1\right)>0\\ x_1+x_2=2m+5>0\\ x_1.x_2=2m+1>0\end{array}\right.$

+ Ta có $\Delta ={\left(2m+5\right)}^2-4\left(2m+1\right)=4m^2+12m+21={\left(2m+3\right)}^2+12>0,\forall m\in R$

+ Giải được điều kiện $m>-\frac{1}{2}$ (*).

+ Do P>0 nên P đạt nhỏ nhất khi $P^2$ nhỏ nhất.

+ Ta có $$\begin{gathered} P^2=\left(x_1+x_2\right)-2\sqrt{x_1{x}_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1} \\ ={\left(\sqrt{2m+1}-1\right)}^2+3\ge 3(\forall m>-\frac{1}{2}) \\ \Rightarrow P\ge \sqrt{3}(\forall m>-\frac{1}{2}) \end{gathered}$$.

và $P=\sqrt{3}$ khi m= 0 (thoả mãn (*)).

+ Vậy giá trị nhỏ nhất $P=\sqrt{3}$ khi m= 0.