Câu hỏi:

13/07/2024 1,700

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (C) tâm O bán kính R.
Hai đường cao AE và BK của tam giác ABC cắt nhau tại H (với E thuộc BC, K thuộc AC).
1. Chứng minh tứ giác ABEK nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh $C E . C B = C K . C A$ .
3. Chứng minh $\hat{O C A} = \hat{B A E}$ .
4. Cho B, C cố định và A di động trên (C) nhưng vẫn thoả mãn điều kiện tam giác ABC nhọn;
khi đó H thuộc một đường tròn (T) cố định. Xác định tâm I và tính bán kính r của đường tròn (T) biết R=3 cm

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

1. + Ta có $\hat{A E B} = \hat{A K B} = 90^{0}$ .

Nên E và K cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

+ Vậy tứ giác ABEK nội tiếp trong một đường tròn.

2. + Vì $A E ⊥ B C; B K ⊥ A C \Rightarrow \hat{A E C} = \hat{B K C} = 90^{0}$

+ Chỉ ra hai tam giác AEC và BKC đồng dạng (g-g).

Suy ra $\frac{C E}{C K} = \frac{C A}{C B}$ . Vậy $C E . C B = C K . C A$ .

3. + Vẽ tiếp tuyến t't của đường tròn (C) tại điểm C, ta có: $\hat{A C t} = \hat{A B C}$ .

+ Lại có $\hat{A B C} = \hat{E K C}$ (cùng bù với $\hat{E K A}$ ), suy ra $\hat{A C t} = \hat{E K C},$ do đó EK song song với t't .

+ Mặt khác $O C ⊥ t' t \Rightarrow O C ⊥ E K$

+ Ta có $\hat{O C A} + \hat{C K E} = 90^{0}$ (do $O C ⊥ E K$ ) và $\hat{B K E} + \hat{C K E} = 90^{0}$ (vì $B K ⊥ A C$ ) suy ra $\hat{O C A} = \hat{B K E}$ (1).

+ Lại có: $\hat{B K E} = \hat{B A E}$ (do tứ giác ABEK nội tiếp ) (2).

+ Từ (1) và (2) ta có $\hat{O C A} = \hat{B A E}$ .

4. + Gọi H’ là giao điểm thứ hai của AE và đường tròn (C); I là điểm đối xứng với O qua BC.

Có $\hat{B H H'} = \hat{B C A} = \hat{B H' H},$ suy ra tam giác BHH' cân tại B nên H và H’ đối xứng nhau qua BC.

+ Vì O và I đối xứng nhau qua BC, do đó $I H = O H' = R$ .

+ Do O cố định, BC cố định nên I cố định. Từ đó có H thuộc đường tròn (T) có tâm I, bán kính R=3 cm.

+ Vậy đường tròn (T) có tâm là điểm I đối xứng với O qua BC và bán kính $r = R = 3 c m .$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Để chuẩn bị cho năm học mới, học sinh hai lớp 9A và 9B ủng hộ thư viện 738 quyển sách gồm hai loại sách giáo khoa và sách tham khảo. Trong đó mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 6 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo; mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 5 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Biết số sách giáo khoa ủng hộ nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp.

Xem đáp án

Lời giải

+ Gọi số học sinh của lớp 9A là x học sinh ( $x \in ℕ^{*}$ )

+ Gọi số học sinh của lớp 9B là y học sinh ( $y \in ℕ^{*}$ ).

+ Ta có học sinh lớp 9A ủng hộ: 6x quyển sách giáo khoa và 3x quyển sách tham khảo.

+ Ta có học sinh lớp 9B ủng hộ: 5y quyển sách giáo khoa và 4y quyển sách tham khảo.

+ Vì tổng số sách học sinh hai lớp ủng hộ là 738 quyển, nên ta có phương trình: $(6 x + 3 x) + (5 y + 4 y) = 738$ hay

$9 x + 9 y = 738 \Leftrightarrow x + y = 82$ (1).

+ Số sách giáo khoa học sinh hai lớp ủng hộ là 6x+5y (quyển)

+ Số sách tham khảo học sinh hai lớp ủng hộ là 3x+4y (quyển)

+ Vì số sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển nên ta có phương trình: $(6 x + 5 y) - (3 x + 4 y) = 166 \Leftrightarrow 3 x + y = 166$ (2).

+ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = 82 \\ 3 x + y = 166 \end{cases}$

+ Giải hệ trên được nghiệm $\{\begin{cases} x = 42 \\ y = 40 \end{cases}$ (thoả mãn điều kiện)

+ Vậy lớp 9A có 42 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh

Câu 2

Cho phương trình $x^{2} - (2 m + 5) x + 2 m + 1 = 0$ (1), với x là ẩn, m là tham số.
a. Giải phương trình (1) khi m= $- \frac{1}{2}$
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt $x_{1}, x_{2}$ sao cho biểu thức $P = |\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

a. + Với $m = - \frac{1}{2}$ phương trình (1) trở thành $x^{2} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array}$ .

+ Vậy khi $m = - \frac{1}{2}$ phương trình có hai nghiệm x= 0 và x= 4.

b. + Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi

$\{\begin{cases} Δ = {(2 m + 5)}^{2} - 4 (2 m + 1) > 0 \\ x_{1} + x_{2} = 2 m + 5 > 0 \\ x_{1} . x_{2} = 2 m + 1 > 0 \end{cases}$

+ Ta có $Δ = {(2 m + 5)}^{2} - 4 (2 m + 1) = 4 m^{2} + 12 m + 21 = {(2 m + 3)}^{2} + 12 > 0, \forall m \in R$

+ Giải được điều kiện $m > - \frac{1}{2}$ (*).

+ Do P>0 nên P đạt nhỏ nhất khi $P^{2}$ nhỏ nhất.

+ Ta có $P^{2} = (x_{1} + x_{2}) - 2 \sqrt{x_{1} x_{2}} = 2 m + 5 - 2 \sqrt{2 m + 1} = {(\sqrt{2 m + 1} - 1)}^{2} + 3 \geq 3 (\forall m > - \frac{1}{2}) \Rightarrow P \geq \sqrt{3} (\forall m > - \frac{1}{2})$ .

và $P = \sqrt{3}$ khi m= 0 (thoả mãn (*)).

+ Vậy giá trị nhỏ nhất $P = \sqrt{3}$ khi m= 0.

Câu 3

Cho hai số thực dương a, b thoả mãn $2 a + 3 b \leq 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \frac{2002}{a} + \frac{2017}{b} + 2996 a - 5501 b$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho biểu thức $B = (\frac{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 3}{1 - \sqrt{x}}) . \frac{x - 1}{2 x + \sqrt{x} - 1}$ (với $x \geq 0; x \neq 1$ và $x \neq \frac{1}{4}$ )
Tìm tất cả các giá trị của x để B<0.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tìm m để đồ thị hàm số $y = 2 x + m$ đi qua điểm $K (2; 3)$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Bình luận

Cho phương trình x2−(2m+5)x+2m+1=0 (1), với x là ẩn, m là tham số.a. Giải phương trình (1) khi m= -12b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức P=x1−x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho hai số thực dương a, b thoả mãn 2a+3b≤4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=2002a+2017b+2996a−5501b

Cho biểu thức B=xx+x+xxx−1−x+31−x.x−12x+x−1 (với x≥0; x≠1 và x≠14)Tìm tất cả các giá trị của x để B<0.

Tìm m để đồ thị hàm số y=2x+m đi qua điểm K(2;3).

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai số thực dương a, b thoả mãn $2 a + 3 b \leq 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \frac{2002}{a} + \frac{2017}{b} + 2996 a - 5501 b$

Cho biểu thức $B = (\frac{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 3}{1 - \sqrt{x}}) . \frac{x - 1}{2 x + \sqrt{x} - 1}$ (với $x \geq 0; x \neq 1$ và $x \neq \frac{1}{4}$ )
Tìm tất cả các giá trị của x để B<0.

Tìm m để đồ thị hàm số $y = 2 x + m$ đi qua điểm $K (2; 3)$ .