Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1), B(3;0;-1) và C(0;21;-19) mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vec tơ $\overrightarrow{OM}$ là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$. Đường tròn giao tuyến của (S) với mặt phẳng (Oxy) có bán kính là:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(-2;5;1) và tiếp xúc với mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y-z+7=0$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;-1;0), B(1;1;-1) và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-3=0$. Mặt phẳng (P) đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm $A\left(1;2;1\right),B\left(3;2;3\right)$, có tâm thuộc mặt phẳng $\left(P\right):x-y-3=0$, đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-4) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy). Phương trình mặt cầu (S) là:

Mặt phẳng (Oyz) cắt mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2x-2y+4z-3=0$ theo một đường tròn có tọa độ tâm là

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(6;0;0), B(0;6;0), C(0;0;6). Hai mặt cầu có phương trình $\left(S_1\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0$ và $\left(S_2\right):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z+1=0$ cắt nhau theo đường tròn (C). Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa (C) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA?