Cho hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x-2y\ge -2\\ 7x-4y\le 16\\ 2x+y\ge -4.\end{array}\right.$

a) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bất phương trình bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

b) Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Gọi x, y lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất. (Điều kiện: $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$ )

Trong một ngày thị trường tiêu thụ tối đa 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên ta có: 0 ≤ x ≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240.

Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn và một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn nên tổng số tiền lãi khi bán mũ là T = 24x + 15y.

Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong một giờ phân xưởng làm được 60 chiếc nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{60}$   (giờ).

Thời gian làm ra một chiếc kiểu mũ thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ nhất là $2.\frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ).

Thời gian để làm x chiếc mũ kiểu thứ nhất là $\frac{1}{30}x$  (giờ).

Thời gian để làm y chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{60}y$  (giờ).

Tổng thời gian để làm hai loại mũ trong một ngày là $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y$  (giờ).

Vì một ngày phân xưởng làm việc 8 tiếng nên $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y\le 8\iff 2x+y\le 480$ .

Khi đó bài toán đã cho đưa về: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+y\le 480\\ 0\le x\le 200\\ 0\le y\le 240\end{array}\right.\left(I\right)$ sao cho T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền ngũ giác ACDEO với A(0; 240), C(120; 240), D(200; 80), E(200; 0), O(0; 0) (hình dưới).

(A là giao điểm của trục tung và đường thẳng y = 240; C là giao điểm của đường thẳng y = 240 và 2x + y = 480, D là giao điểm của đường thẳng 2x + y = 480 và x = 200, E là giao điểm của trục hoành và đường thẳng x = 200).

a) $\left\{\begin{array}{l}3x+2y\ge -6\left(1\right)\\ x+4y>4\left(2\right)\end{array}\right.$

+ Xét cặp số (0; 2), thay x = 0, y = 2 vào từng bất phương trình của hệ đã cho, ta có:

(1):  3 . 0 + 2 . 2 ≥ – 6 là mệnh đề đúng;

(2): 0 + 4 . 2 > 4 là mệnh đề đúng.

Vậy (0; 2) là nghiệm chung của (1) và (2) nên (0; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Xét cặp số (1; 0), thay x = 1, y = 0 vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta có:

(1): 3 . 1 + 2 . 0 ≥ – 6 là mệnh đề đúng;

(2): 1 + 4 . 0 > 4 là mệnh đề sai.

Vậy (1; 0) không là nghiệm của (2) nên (1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình.

b) $\left\{\begin{array}{l}4x+y\le -3\left(3\right)\\ -3x+5y\ge -12\left(4\right)\end{array}\right.$

+ Xét cặp số (– 1; – 3), thay x = – 1, y = – 3 vào từng bất phương trình của hệ, ta có:

(3): 4 . (– 1) + (– 3) ≤ – 3  (do 4 . (– 1) + (– 3) = – 7 < – 3) là mệnh đề đúng;

(4): (– 3) . (– 1) + 5 . (– 3) ≥ – 12 (do (– 3) . (– 1) + 5 . (– 3) = – 12) là mệnh đề đúng.

Vậy (– 1; – 3) là nghiệm chung của (3) và (4) nên (– 1; – 3) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Xét cặp số (0; – 3), thay x = 0, y = – 3 vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta có:

(3): 4 . 0 + (– 3) ≤ – 3 là mệnh đề đúng;

(4): (– 3) . 0 + 5 . (– 3) ≥ – 12 là mệnh đề sai.

Vậy (0; – 3) không là nghiệm của (2) nên không là nghiệm của hệ bất phương trình.