Bài tập cuối chương II có đáp án

a) 3x – y > 3

+ Vẽ đường thẳng d: 3x – y = 3.

Đường thẳng d đi qua hai điểm (0; – 3) và (1; 0).

+ Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 3 . 0 – 0 = 0 < 3.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình 3x – y > 3 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên không chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d.

b) x + 2y ≤ – 4

+ Vẽ đường thẳng d: x + 2y = – 4.

Đường thẳng d đi qua 2 điểm (0; – 2) và (– 4; 0).

+ Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 0 + 2. 0 = 0 > – 4.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + 2y ≤ – 4 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên không chứa điểm O(0; 0) kể cả đường thẳng d.

c) y ≥ 2x – 5

⇔ 2x – y ≤ 5

+ Vẽ đường thẳng d: 2x – y = 5.

Đường thẳng d đi qua hai điểm (0; – 5) và (2,5; 0).

+ Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 2 . 0 – 0 = 0 < 5.

 Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x – y ≤ 5 hay y ≥ 2x – 5 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm O(0; 0) kể cả đường thẳng d.

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-3y<6\\ 2x+y<2\end{array}\right.$

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d₁: 2x – 3y = 6;

d₂: 2x + y = 2.

+ Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình của hệ.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không gạch sọc ở hình trên không kể đường thẳng d₁ và d₂.

b) $\left\{\begin{array}{l}4x+10y\le 20\\ x-y\le 4\\ x\ge -2\end{array}\right.$

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d₁: 4x + 10y = 20;

d₂: x – y = 4;

d₃: x = – 2.

+ Gạch đi những phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình của hệ.

Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch trong hình kể cả biên.

A là giao điểm của d₁ và d₃ nên A(– 2; 2,8)

B là giao điểm của d₁ và d₂ nên B $\left(\frac{30}{7};\frac{2}{7}\right)$

C là giao điểm của d₂ và d₃ nên C(– 2; – 6).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC.

c) $\left\{\begin{array}{l}x-2y\le 5\\ x+y\ge 2\\ x\ge 0\\ y\le 3\end{array}\right.$

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d₁: x – 2y = 5;

d₂: x + y = 2;

d₃: x = 0 là trục tung;

d₄: y = 3.

+ Gạch đi những phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình của hệ.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với A(0; 2), B(0; 3), C(11; 3), D(3; – 1).

a) Trong 1 lạng đậu nành có 165 mg canxi nên trong x lạng đậu nành có 165x (mg canxi).

Trong 1 lạng thịt có 15 mg canxi nên trong y lạng thịt có 15y (mg canxi).

Tổng số lượng canxi có trong x lạng đậu nành và y lạng thịt là 165x + 15y (mg canxi).

Vì nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là 1300 mg nên 165x + 15y ≥ 1300.

Vậy bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu diễnlượng canxi cần thiết trong một ngày của một người trong độ tuổi trưởng thành là 165x + 15y ≥ 1300.

b) (x₀; y₀) là nghiệm của bất phương trình trên nếu 165x₀ + 15y₀ ≥ 1300.

Do x₀; y₀ $\in \mathbb{Z}$  nên ta chọn x₀ = 7; y₀ = 10, ta có: 165 . 7 + 15 . 10 = 1305 > 1300.

Vậy (7; 10) là một nghiệm nguyên của bất phương trình.

 Chú ý: có nhiều cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn yêu cầu, ta có thể chọn cặp tùy ý, miễn sao 165x₀ + 15y₀ ≥ 1300 và x₀; y₀ $\in \mathbb{Z}$.

a) Gọi x, y lần lượt là số lượng cốc đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca – lo và số đơn vị vitamin hấp thụ (điều kiện x, y$\in \mathbb{N}$ ).

Tổng số ca – lo mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 60x + 60y (ca – lo).

Tổng số đơn vị vitamin A mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 12x + 6y (đơn vị).

Tổng số đơn vị vitamin C mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 10x + 30y (đơn vị).

 Vì tối thiểu hằng ngày cần 300 ca – lo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C.

Nên ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}60x+60y\ge 300\\ 12x+6y\ge 36\\ 10x+30y\ge 90\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x+y\ge 5\\ 2x+y\ge 6\\ x+3y\ge 9\end{array}\right.$  (I).

b) Số cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm của hệ (I).

+ Phương án 1: Chọn x = 1, y = 4, thay vào từng bất phương trình của hệ:

1 + 4 ≥ 5 là mệnh đề đúng;

2 . 1 + 4 ≥ 6 là mệnh đề đúng;

1 + 3. 4 ≥ 9 là mệnh đề đúng.

Vậy (1; 4) là nghiệm chung của các bất phương trình của hệ nên (1; 4) là nghiệm của hệ (I).

Do đó, bác Ngọc có thể chọn 1 cốc thứ nhất và 4 cốc thứ hai.

 + Phương án 2: Chọn x = 3, y = 4, thay vào từng bất phương trình của hệ:

3 + 4 ≥ 5 là mệnh đề đúng;

2 . 3 + 4 ≥ 6 là mệnh đề đúng;

3 + 3 . 4 ≥ 9 là mệnh đề đúng.

Vậy (3; 4) là nghiệm chung của các bất phương trình của hệ nên (3; 4) là nghiệm của hệ (I).

Do đó, bác Ngọc có thể chọn 3 cốc thứ nhất và 4 cốc thứ hai.

Gọi số nhân viên ca I cần huy động là x (nhân viên), số nhân viên ca II cần huy động là y (nhân viên) (x, y > 0; $x,y\in \mathbb{Z}$ ).

Do ca I từ 10h00 – 18h00 và ca II từ 14h00 – 22h00 nên số nhân viên trong thời gian từ 14h00 – 18h00 chính là tổng số nhân của 2 ca và là x + y (nhân viên), x + y > 0.

Vì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00 – 18h00 (ca I) nên x ≥ 6.

Cần tối thiểu 24 nhân viên trong khoảng thời gian cao điểm 14h00 – 18h00 (giao giữa hai ca) nên x + y ≥ 24.

Cần không quá 20 nhân viên trong khoảng 18h00 – 22h00 (trong khoảng thời gian này chỉ còn lại y nhân viên của ca II làm) nên 0 < y ≤ 20.

Do số lượng khách trong khoảng 14h00 – 22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I nên y ≥ 2x.

Quan sát bảng đã cho ta thấy:

+ Tiền lương trong 1 giờ ở ca I là 20 000 đồng nên 1 nhân viên làm việc 1 ngày trong ca I có tiền lương là 20 000 . 8 = 160 000 đồng.

+ Tiền lương trong 1 giờ của ca II là 22 000 đồng nên 1 nhân viên làm việc 1 ngày trong ca II có tiền lương là 22 000 . 8 = 176 000 đồng.

Do đó tổng chi phí tiền lương cho x nhân viên ca I và y nhân viên ca II trong một ngày là T = 160 000x + 176 000y (đồng).

Khi đó bài toán đã cho đưa về: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x+y>0\\ x\ge 6\\ x+y\ge 24\\ 0<y\le 20\\ y\ge 2x\end{array}\right.$  (*) sao cho T = 160 000x + 176 000y có giá trị là nhỏ nhất.

Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) bằng cách vẽ đồ thị.