Bài tập Chuyên đề Nhị thức Newton có đáp án

a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau:

${(a+b)}^3=C_3^{?}{a}^{3-?}+C_3^{?}{a}^{3-?}{b}^1+C_3^{?}{a}^{3-?}{b}^2+C_3^{?}{a}^{3-?}{b}^3.$

Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)³.

b) Xét biểu thức (a + b)ⁿ.

Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)ⁿ.

Khai triển biểu thức (x + 2)⁷.

Ta sắp xểp những hệ số tổ hợp ở trên như sau:

Sử dụng tam giác Pascal để khai triển:

a) (x + y)⁷;

b) (x – 2)⁷.

a) So sánh từng cặp hệ số $C_4^0$ và $C_4^4; C_4^1$ và $C_4^3$  ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số $C_5^0$ và $C_5^5; C_5^1 và C_5^4; C_5^2 và C_5^3$ ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số:

$C_4^0\text{ }{C}_4^1\text{ }{C}_4^2\text{ }{C}_4^3\text{ }{C}_4^4$ (trong khai triển (a + b)⁴)

$C_5^0\text{ }{C}_5^1\text{ }{C}_5^2\text{ }{C}_5^3\text{ }{C}_5^4\text{ }{C}_5^5$ (trong khai triển (a + b)⁵)

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)²⁰²²;

b) (a + b)²⁰²³.

Quan sát khai triển nhị thức:

${(ax+b)}^n=C_n^0{\left(ax\right)}^n+C_n^1{\left(ax\right)}^{n-1}b+C_n^2{\left(ax\right)}^{n-2}{b}^2+\mathrm{...}+C_n^{n-1}\left(ax\right)b^{n-1}+C_n^n{b}^n$

$=C_n^0{a}^n{x}^n+C_n^1{a}^{n-1}b{x}^{n-1}+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2{x}^{n-2}+\mathrm{...}+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}x+C_n^n{b}^n.$

Xét khai triển của (x + 5)¹⁵.

a) Nêu số hạng chứa x⁷, từ đó nêu hệ số của x⁷.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số a_k của x^k với 0 ≤ k ≤ 15.

Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)⁶;

b) (x – 3y)⁶;

c) (x – 1)ⁿ;

d) (x + 2)ⁿ;

e) (x + y)²ⁿ;

g) (x – y)²ⁿ;

trong đó n lả số nguyên dương.

Xác định hệ số của:

a) x¹² trong khai triển của (x + 4)³⁰;

b) x¹⁰ trong khai triển của (3 + 2x)³⁰;

c) x¹⁵ và x¹⁶ trong khai triển của ${\left(\frac{2x}{3}-\frac{1}{7}\right)}^{51}.$

Xét khai triển của ${\left(x+\frac{5}{2}\right)}^{12}.$

a) Xác định hệ số của x⁷.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số a_k của x^k với 0 ≤ k ≤ 12.

Xét khai triển của ${\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{5}\right)}^{21}.$

a) Xác định hệ số của x¹⁰.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số a_k của x^k với 0 ≤ k ≤ 21.

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)⁸;

b) (a + b)⁹.

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

${(a+b)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\mathrm{...}+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$ với n$\in$ℕ^*.

Cho tập hợp A = {x₁; x₂; x₃; ... ; x_n} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế?