Mà A₁ thuộc (H) nên $\frac{x_{_{A_{1}}}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{_{A_{1}}}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A_{1}} = a \\ x_{A_{1}} = - a \end{array} .$

Ta thấy A₁ nằm bên trái điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{1}} < 0 \Rightarrow x_{A_{1}} = - a \Rightarrow$ A₁(–a; 0). Khi đó OA₁ = $\sqrt{{(- a - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \sqrt{{(- a)}^{2}} = a$ (vì a > 0).

Vậy OA₁ = a.

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $(x_{A_{2}}; 0) .$

Mà A₂ thuộc (H) nên $\frac{x_{_{A_{2}}}^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{_{A_{2}}}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A_{2}} = a \\ x_{A_{2}} = - a \end{array} .$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{2}} > 0 \Rightarrow x_{A_{2}} = a \Rightarrow$ A₂(a; 0). Khi đó OA₂ = $\sqrt{{(a - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \sqrt{a^{2}} = a$ (vì a > 0).

Vậy OA₂ = a.

Câu 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , trong đó a > 0, b > 0 (Hình 14).

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H). Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm M₁, M₂, M₃ có nằm trên hypebol (H) hay không? Tại sao?

Xem đáp án

Lời giải

Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (H) nên ta có: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$

+) M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M₁ có toạ độ là (x; –y).

Ta có $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y)}^{2}}{b^{2}} = \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ Do đó M₁ cũng thuộc (H).

+) M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M₂ có toạ độ là (–x; y).

Ta có $\frac{{(- x)}^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ Do đó M₂ cũng thuộc (H).

+) M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M₃ có toạ độ là (–x; –y).

Ta có $\frac{{(- x)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y)}^{2}}{b^{2}} = \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ Do đó M₃ cũng thuộc (H).

Câu 3

a) Quan sát điểm M (x; y) nằm trên hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng x ≤ –a hoặc x ≥ a.

b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS.

Xem đáp án

Lời giải

a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (H) thì $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$

Vì $\frac{y^{2}}{b^{2}} \geq 0$ nên $\frac{x^{2}}{a^{2}} \geq 1 \Rightarrow x^{2} \geq a^{2} \Rightarrow$ x ≤ –a hoặc x ≥ a.

+) Có P(–a; b), R(a; –b) $\Rightarrow \vec{P R} = (a - (- a); - b - b) = (2 a; - 2 b) .$

Do đó ta chọn (b; a) là một vectơ pháp tuyến của PR.

Khi đó phương trình đường thẳng PR là: b(x + a) + a(y – b) = 0 hay bx + ay = 0 hay $y = - \frac{b}{a} x .$

+) Có Q(a; b), S(–a; –b) $\Rightarrow \vec{Q S} = (- a - a; - b - b) = (- 2 a; - 2 b) .$

Do đó ta chọn (–b; a) là một vectơ pháp tuyến của QS.

Khi đó phương trình đường thẳng QS là: –b(x – a) + a(y – b) = 0 hay –bx + ay = 0 hay $y = \frac{b}{a} x .$

Câu 4

Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) và một đường tiệm cận là y = –3x.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) $\Rightarrow$ a = 5.

+) Hypebol có một đường tiệm cận là y = –3x $\Rightarrow \frac{b}{a} = 3 \Rightarrow$ b = 3a = 15.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{5^{2}} - \frac{y^{2}}{15^{2}} = 1$ hay $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{225} = 1.$

Câu 5

Nêu định nghĩa tâm sai của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > b > 0.

Xem đáp án

Lời giải

Tâm sai e của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > b > 0 là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip, tức là $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a} .$