Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$. Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E).

a) Vì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s nên tại thời điểm đó PB – PA = (3 . 10⁸) . 0,0012 = 360000 (m) = 360 (km).

Vì con tàu chuyển động với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm nên |PA – PB| = 360 (km) với mọi vị trí của P.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB và trục Ox trùng với AB, đơn vị trên hai trục là km thì hypebol này có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Vì |PA – PB| = 360 nên 2a = 360, suy ra a =180.

Theo đề bài, AB = 650, suy ra 2c = 650, suy ra c = 325.

b² = c² – a² = 325² – 180² = 73225.

Vậy phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là $\frac{x^2}{32400}-\frac{y^2}{73225}=1.$

b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục Oy của hypebol nên ta PB < PA với mọi vị trí của P. Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A.

Gọi t₁ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ A, t₂ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ B thì $t_1=\frac{PA}{v},t_2=\frac{PB}{v}$ với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.

Khi đó, ta có:

t₁ – t₂ = $\frac{PA-PB}{v}=\frac{360000}{3.8^{10}}=0,0012\left(s\right).$

Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.

a) Ta có: a = 2, b = 1, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}.$

Toạ độ các đỉnh của hypebol là: A₁(–2; 0), A₂(2; 0).

Các tiêu điểm của hypebol là: F_{$\left(-\sqrt{5};0\right),$} F_{2$\left(\sqrt{5};0\right).$}

Tiêu cự của hypebol là: 2c = $2\sqrt{5}.$

Độ dài trục thực của hypebol là: 2a = 4.

b) Phương trình các đường tiệm cận của hypebol là: $y=-\frac{b}{a}x=-\frac{1}{2}x$ và $y=\frac{b}{a}x=\frac{1}{2}x.$

Vẽ hypebol: