Câu hỏi:

12/07/2024 7,431

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol $(H) : \frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ . Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Hypebol có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hypebol (H) có a = 8, b = 6 $\Rightarrow c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 10$ và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6).

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

+) (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) $\Rightarrow c = 10 \Rightarrow a^{2} - b^{2} = c^{2} = 100 (1) .$

+) Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E) $\Rightarrow M (8; 6) \in (E)$

$\Rightarrow \frac{8^{2}}{a^{2}} + \frac{6^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{64}{a^{2}} + \frac{36}{b^{2}} = 1 (2) .$

Thế (1) vào (2) ta được:

$\frac{64}{b^{2} + 100} + \frac{36}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{64 b^{2} + 36 (b^{2} + 100)}{(b^{2} + 100) b^{2}} = 1$

$\Rightarrow 64 b^{2} + 36 (b^{2} + 100) = (b^{2} + 100) b^{2}$

$\Rightarrow 100 b^{2} + 3600 = b^{4} + 100 b^{2} \Rightarrow b^{4} = 3600 \Rightarrow b^{2} = 60 \Rightarrow a^{2} = 160.$

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{160} + \frac{y^{2}}{60} = 1.$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.

Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |PA – PB|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3 . 10⁸ m/s.

a) Lập phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu.

b) Chứng tỏ rằng tại mọi thời điểm trên quỹ đạo chuyển động thì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s nên tại thời điểm đó PB – PA = (3 . 10⁸) . 0,0012 = 360000 (m) = 360 (km).

Vì con tàu chuyển động với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm nên |PA – PB| = 360 (km) với mọi vị trí của P.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB và trục Ox trùng với AB, đơn vị trên hai trục là km thì hypebol này có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

Vì |PA – PB| = 360 nên 2a = 360, suy ra a =180.

Theo đề bài, AB = 650, suy ra 2c = 650, suy ra c = 325.

b² = c² – a² = 325² – 180² = 73225.

Vậy phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là $\frac{x^{2}}{32400} - \frac{y^{2}}{73225} = 1.$

b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục Oy của hypebol nên ta PB < PA với mọi vị trí của P. Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A.

Gọi t₁ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ A, t₂ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ B thì $t_{1} = \frac{P A}{v}, t_{2} = \frac{P B}{v}$ với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.

Khi đó, ta có:

t₁ – t₂ = $\frac{P A - P B}{v} = \frac{360000}{3 . 8^{10}} = 0, 0012 (s) .$

Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.

Câu 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$ .

a) Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục thực của hypebol.

b) Xác định phương trình các đường tiệm cận của hypebol và vẽ hypebol trên.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: a = 2, b = 1, c = $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{5} .$

Toạ độ các đỉnh của hypebol là: A₁(–2; 0), A₂(2; 0).

Các tiêu điểm của hypebol là: F_{$(- \sqrt{5}; 0),$} F_{2 $(\sqrt{5}; 0) .$}

Tiêu cự của hypebol là: 2c = $2 \sqrt{5} .$

Độ dài trục thực của hypebol là: 2a = 4.

b) Phương trình các đường tiệm cận của hypebol là: $y = - \frac{b}{a} x = - \frac{1}{2} x$ và $y = \frac{b}{a} x = \frac{1}{2} x .$

Vẽ hypebol:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc (ảnh 1)

Câu 3

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a > 0, b > 0. Xét đường thẳng $Δ_{1} : x = - \frac{a}{e}$ .

Với mỗi điểm M (x₀; y₀) $\in$ (H) (Hình 17), tính:

a) Khoảng cách d (M, Δ₁) từ điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng Δ₁.

b) Tỉ số $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1.$ Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho |MF₁ – MF₂| = 2a, ở đó F₁F₂ = 2c với c > a > 0. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F₁F₂. Trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox (Hình 16). Khi đó F₁(c; 0), F₂(c; 0) là các tiêu điểm của (H).

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường hypebol (H), chứng minh:

a) MF₁² = x² + 2cx + c² + y²;

b) MF₂² = x² – 2cx + c² + y²;

c) MF₁² – MF₂² = 4cx.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức MF₁² – MF₂² = 4cx và |MF₁ – MF₂| = 2a, chứng minh:

$M F_{1} = |a + \frac{c}{a} x| = | a + e x |; M F_{2} = |a - \frac{c}{a} x| = | a - e x | .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1.$ Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức MF₁² – MF₂² = 4cx và |MF₁ – MF₂| = 2a, chứng minh:

$M F_{1} = |a + \frac{c}{a} x| = | a + e x |; M F_{2} = |a - \frac{c}{a} x| = | a - e x | .$