Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

Xét số có hình thức \(\overline {0bcdef} \).

Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.

Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(1,2,5\) là: 4!

Vậy số các số được lập theo hình thức này là \(2.4! = 48\).

Xét số có hình thức \(\overline {abcdef} \) trong đó \(a\) được phép bằng 0.

Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.

Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(0,1,2,5\) là: 5!.

Số các số được lập theo hình thức này là \(2.5! = 240\).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(240 - 48 = 192\).

Hướng dẫn giải

a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối \((A,B,C)\) lần lượt là: \(C_{15}^5,C_{10}^5,C_5^5\).

Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 756756\) (cách).

b) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như lời giải sau:

Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối \(C,13\) học sinh khối \(B\) hoặc khối \(A\): có \(C_5^2C_{25}^{13}\) cách.

Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối \(C,13\) học sinh khối \(B\) và khối \(A\) không thỏa mãn yêu cầu.

- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối \(C,10\) học sinh khối \(B\) và 3 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3\) cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối \(C,9\) học sinh khối \(B\) và 4 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^9C_{15}^4\) cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_5^2C_{25}^{13} - C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3 - C_5^2C_{10}^9C_{15}^4 = 51861950\) (cách).

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là \(\overline {abcd} \).

Trường hợp 1: \(d = 0\).

Chọn \(d\): có 1 cách. Chọn \(a(a \ne 0)\): có 5 cách.

Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4,3.

Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60\).

Trường hợp 2: \(d \in \{ 2;4\} \).

Chọn \(d\): có 2 cách. Chọn \(a(a \ne 0,a \ne d)\): có 4 cách.

Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4,3.

Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96\).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(60 + 96 = 156\).

Hướng dẫn giải

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng \(\overline {abcd0} \).

Chọn \(a(a \ne 0)\): có 9 cách. Chọn \(b(b \ne 0,b \ne a)\): có 8 cách.

Số cách chọn \(c,d\) lần lượt là 7,6.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: \(9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024\).

Hướng dẫn giải

Bước 1: Xếp 6 học sinh lớp 11 thành một hàng ngang, có 6! cách.

Bước 2: giữa 6 bạn học sinh lớp 11 có 5 khoảng trống, chọn 3 khoảng trống trong 5 khoảng trống để xếp các bạn lớp 12, có \(A_5^3\) cách.

Theo quy tắc nhân có \(6!.A_5^3 = 43200\) cách xếp thỏa yêu cầu.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N},x \ge 10\).

Ta có: \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{x!}}{{(x - 8)!}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{(x - 10)!}} + \frac{1}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{1}{{(x - 8)!}} \Leftrightarrow \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 8)!}}\\ \Leftrightarrow (x - 8)(x - 9) + (x - 8) = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 11}\\{x = 5}\end{array}} \right.{\rm{ }}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(x = 11\).