Với $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 $ ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$.

Câu 3/24

Cho tứ giác ABCD. Biểu thức $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} $ bằng:

A. CD².

B. 0.

C. $\overrightarrow 0 $.

D. 1.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)$

$ = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)$

$ = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow 0 = 0$

Câu 4/24

Cho góc nhọn α. Biểu thức tanα . tan(90°– α) bằng:

A. tanα + cotα.

B. tan²α

C. 1.

D. tan²α + cot²α.

Lời giải

Đáp án đúng là C

tanα . tan(90°– α)

= tanα . cotα

= 1.

Câu 5/24

Cho α thỏa mãn $\sin \alpha = \frac{3}{5}$. Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) trong các trường hợp sau:

0° < α < 90°;

Lời giải

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1$

⇔ ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + co{s^2}\alpha = 1$

⇔ $co{s^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}$

⇔ $co{s^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}$

⇔ $cos\alpha = \frac{4}{5}$ hoặc $cos\alpha = - \frac{4}{5}$

Vì 0° < α < 90° nên $cos\alpha = \frac{4}{5}$

⇒ $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{3}{4}$

⇒ $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{3}$

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:

sin(90° – α) = cosα = $\frac{4}{5}$;

cos(90° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

sin(180° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

cos(180° – α) = –cosα = $ - \frac{4}{5}$.

Câu 6/24

Cho α thỏa mãn $\sin \alpha = \frac{3}{5}$. Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) trong các trường hợp sau:

90° < α < 180°;

Lời giải

Vì 90° < α < 180° nên $cos\alpha = - \frac{4}{5}$

⇒ $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = - \frac{3}{4}$

⇒ $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{3}{4}}} = - \frac{4}{3}$

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:

sin(90° – α) = cosα = $ - \frac{4}{5}$;

cos(90° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

sin(180° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

cos(180° – α) = –cosα = $ - \left( { - \frac{4}{5}} \right) = \frac{4}{5}$.

Câu 7/24

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, $\widehat {BAC} = 60^\circ $. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

Lời giải

Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

Xét tam giác ABC, có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos$\widehat {BAC}$

= 4² + 6² – 2.4.6.cos60°

= 4² + 6² – 24

= 28

⇔ BC = $\sqrt {28} $.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta được:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$

⇔ $\sin B = \frac{{6.\sin 60^\circ }}{{\sqrt {28} }} \approx 0,98$

⇔ $\widehat B \approx 79^\circ $.

Vậy BC = $\sqrt {28} $ và $\widehat B \approx 79^\circ $.

Câu 8/24

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, $\widehat {BAC} = 60^\circ $. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
Bán kính đường tròn ngoại tiếp R;

Lời giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

⇔ $R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt {28} }}{{2\sin 60^\circ }} \approx 3$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3.

Câu 9/24