Cho tứ giác ABCD, M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thỏa mãn \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\). Chứng minh M luôn nằm trên đường tròn cố định.

Lời giải

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 \)

⇒ \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

⇔\(\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

⇔\(\left( {2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {2\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

⇔\(4\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {MJ} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\widehat {{\rm{IMJ}}} = 90^\circ \)

Vậy M là điểm thuộc đường tròn đường kính IJ.