Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng minh AM ⊥ BD.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 4.5.c{\rm{os120}}^\circ = - 10\)

Ta lại có: \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

Và \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \)

⇒\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\)

⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}{\overrightarrow {AC} ^2}\)

⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = - \frac{1}{2}{.4^2} + \frac{1}{5}( - 10) - \frac{1}{2}( - 10) + \frac{1}{5}{.5^2} = 0\)

Suy ra AM vuông góc BD.

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - 10\) và AM vuông góc BD.