Cho tam giác ABC, có ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB} = 0\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 10 CD Bài tập cuối chương 4 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB} \)

= \(\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} \)

= \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} \)

= \(\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} } \right)\)

= 0

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

Xem đáp án

Lời giải

Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

Xét tam giác ABC, có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos\(\widehat {BAC}\)

= 4² + 6² – 2.4.6.cos60°

= 4² + 6² – 24

= 28

⇔ BC = \(\sqrt {28} \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta được:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)

⇔ \(\sin B = \frac{{6.\sin 60^\circ }}{{\sqrt {28} }} \approx 0,98\)

⇔ \(\widehat B \approx 79^\circ \).

Vậy BC = \(\sqrt {28} \) và \(\widehat B \approx 79^\circ \).

Câu 2

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5,\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 135^\circ \). Tính \(\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\).

Xem đáp án

Lời giải

\(\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b - 2{\overrightarrow b ^2} = 2{\overrightarrow a ^2} + 3\overrightarrow a .\overrightarrow b - 2{\overrightarrow b ^2}\)

\( = 2{\overrightarrow a ^2} + 3\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) - 2{\overrightarrow b ^2}\)

\( = {2.4^2} + 3.4.5.cos135^\circ - {2.5^2} = - 18 - 30\sqrt 2 \)

Câu 3