Bài tập cuối chương III có đáp án

a) Hàm số $y=\frac{1}{x^2-x}$  có nghĩa khi x² – x ≠ 0 ⇔ x(x – 1) ≠ 0 .

Vậy tập xác định của hàm số là D = {x$\in ℝ$ | x ≠ 0, x ≠ 1} =$ℝ\backslash \left\{0;1\right\}$ .

b) Hàm số $y=\sqrt{x^2-4x+3}$  xác định khi x² – 4x + 3 ≥ 0 (1).

Ta giải bất phương trình (1), ta thấy tam thức bậc hai x² – 4x + 3 có hệ số a = 1 > 0, b = – 4, c = 3 và ∆ = (– 4)² – 4 . 1 . 3 = 4 > 0.

Khi đó tam thức x² – 4x + 3 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1, x₂ = 3.

Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai ta thấy x² – 4x + 3 không âm khi x ≤ 1 và x ≥ 3.

Do đó nghiệm của bất phương trình (1) là x ≤ 1 và x ≥ 3.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (– ∞; 1] ∪ [3; + ∞).

c) Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$  xác định khi x – 1 > 0 ⇔ x > 1.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (1; + ∞).

Hoàn thiện đồ thị Hình 36, ta được:

* Hình 37a: Quan sát đồ thị ta thấy:

a) Bề lõm của đồ thị hướng lên trên nên hệ số a > 0 hay hệ số a mang dấu “+”.

b) Tọa độ đỉnh I(1; – 1), trục đối xứng x = 1.

c) Do hệ số a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ∞).

d) Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ∞; 1).

e) Phần parabol nằm phía trên trục hoành tương ứng với các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞) nên hàm số y > 0 trên các khoảng giá trị của x là (– ∞; 0) ∪ (2; + ∞).

g) Phần parabol phía dưới trục hoành tương ứng với khoảng (0; 2) nên hàm số y < 0 trên (0; 2). Vậy khoảng giá trị của x mà y ≤ 0 là đoạn [0; 2].

* Hình 37b: Quan sát đồ thị ta thấy,

a) Bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới nên a < 0 hay hệ số a mang dấu “–”.

b) Tọa độ đỉnh I(1; 4), trục đối xứng x = 1.

c) Do hệ số a < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1).

d) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

e) Phần parabol nằm phía trên trục hoành tương ứng với khoảng (– 1; 3) nên khoảng giá trị của x là (– 1; 3) thì y > 0.

g) Phần parabol nằm phía dưới trục hoành tương ứng với các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞) nên khoảng giá trị của x để y ≤ 0 là (– ∞; – 1] ∪ [3; + ∞).

a) y = x² – 3x – 4

Ta có: hệ số a = 1 > 0, b = – 3, c = – 4, ∆ = (– 3)² – 4 . 1 . (– 4) = 25 > 0.

- Parabol có bề lõm hướng lên trên.

- Tọa độ đỉnh I$\left(\frac{3}{2};\frac{-25}{4}\right)$ .

- Trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$  .

- Giao của parabol với trục tung là A(0; – 4).

- Giao với trục hoành tại các điểm B(– 1; 0) và C(4; 0).

- Điểm đối xứng với điểm A(0; – 4) qua trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$   là điểm D(3; – 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị của hàm số y = x² – 3x – 4 như hình dưới.

a) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 4x – 1 có hệ số a = – 3 < 0, b = 4, c = – 1 và ∆ = 4² – 4 . (– 3) . (– 1) = 4 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{1}{3}$  và x₂ = 1.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu như sau:

b) Tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 12 có hệ số a = 1 > 0, b = – 1, c = – 12 và ∆ = (– 1)² – 4 . 1 . (– 12) = 49 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 3 và x₂ = 4.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu sau:

c) Tam thức bậc hai f(x) = 16x² + 24x + 9 có hệ số a = 16 > 0, b = 24, c = 9, ∆ = 24² – 4 . 16 . 9 = 0.

Do đó tam thức bậc hai có nghiệm kép x = $-\frac{3}{4}$ .

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau: