Sau bài học thứ 3 của chương 3 này, ta sẽ biết cách xét dấu tam thức bậc hai và áp dụng vào xét dấu tam thức bậc hai f(x) = – 200x² + 92 000x – 8 400 000.

Ta có: a = – 200, b = 92 000, c = – 8 400 000.

∆ = b² – 4ac = 92000² – 4 . (– 200) . (– 8 400 000) = 1 744 000 000 > 0

$\sqrt{Δ} = \sqrt{1 744 000 000} = 4000 \sqrt{109}$

Khi đó f(x) có hai nghiệm $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 92000 + 4000 \sqrt{109}}{- 400} = 230 - 10 \sqrt{109}$ ; $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 92000 - 4000 \sqrt{109}}{- 400} = 230 + 10 \sqrt{109}$ .

Lại có a = – 200 < 0.

Do đó f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng $(- \infty; 230 - 10 \sqrt{109})$ và $(230 + 10 \sqrt{109}; + \infty)$ .

f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng $(230 - 10 \sqrt{109}; 230 + 10 \sqrt{109})$ .

Câu 2/11

a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x + 2.

b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 5.

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ < 0.

Lời giải

a) Quan sát Hình 17 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x + 2 > 0.

b) Quan sát Hình 18 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 5 < 0.

c) Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x \in ℝ$ .

Câu 3/11

a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1.

b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 4.

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax²+ bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ = 0.

Lời giải

a) Quan sát Hình 19, ta thấy parabol có đỉnh I(– 1; 0) thuộc trục hoành và phần parabol còn lại nằm phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1 > 0 với mọi $x \in ℝ \ \{- 1\}$ .

b) Quan sát Hình 20, ta thấy parabol có đỉnh I(2; 0) thuộc trục hoành và phần parabol còn lại nằm phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 4 < 0 với mọi $x \in ℝ \ \{2\}$ .

c) Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x \in ℝ \ \{\frac{- b}{2 a}\} .$

Câu 4/11

a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 tùy theo các khoảng của x.

b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 tùy theo các khoảng của x.

c) Từ đó rút ra mối quan hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a tùy theo các khoảng của x trong trường hợp ∆ > 0.

Lời giải

a) Quan sát Hình 21, ta thấy

+ Trên khoảng (– 2; – 1), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 < 0.

+ Trên các khoảng (– ∞; – 2) và (– 1; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 > 0.

b) Quan sát Hình 22, ta thấy:

+ Trên khoảng (1; 3), phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 > 0.

+ Trên các khoảng (– ∞; 1) và (3; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 < 0.

c) Nếu ∆ > thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (– ∞; x₁) và (x₂; + ∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x₁; x₂), trong đó x₁, x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁ < x₂.

Câu 5/11

Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = – 2x2 + 4x – 5;

b) f(x) = – x2 + 6x – 9.

Lời giải

a) Tam thức bậc hai f(x) = – 2x² + 4x – 5 có ∆ = b² – 4ac = 4² – 4 . (– 2) . (– 5) = – 24 < 0, hệ số a = – 2 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x \in ℝ .$

b) Tam thức bậc hai f(x) = – x² + 6x – 9 có ∆ = b² – 4ac = 6² – 4 . (– 1) . (– 9) = 0, nghiệm kép x₀ = $\frac{- b}{2 a} = \frac{- 6}{2. (- 1)} = 3$ và hệ số a = – 1 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x \in ℝ \ \{3\} .$

Câu 6/11

Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai: f(x) = – x² – 2x + 8.

Lời giải

Tam thức bậc hai f(x) = – x² – 2x + 8 có ∆ = b² – 4ac = (– 2)² – 4 . (– 1) . 8 = 36 > 0.

Do đó tam thức bậc hai có hai nghiệm x₁ = – 4, x₂ = 2 và hệ số a = – 1 < 0.

Ta có bảng xét dấu như sau:

x	– ∞ – 4 2 + ∞
f(x)	– 0 + 0 –

Câu 7/11