Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là Q² + 180Q + 140 000 (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 200 nghìn đồng.

a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết Q sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.

b) Xí nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì hòa vốn?

c) Xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm là bao nhiêu để không bị lỗ?

Theo bài ra thì điều kiện của Q là $Q\in {\mathbb{N}}^{*}$.

a) Tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là T = Q² + 180Q + 140 000 (nghìn đồng).

Giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 200 nghìn đồng nên giá Q sản phẩm bán ra thị trường hay chính là doanh thu khi bán Q sản phẩm là: DT = 1 200Q (nghìn đồng).

Khi đó lợi nhuận của xí nghiệp khi bán hết Q sản phẩm là:

y = DT – T = 1 200Q – (Q² + 180Q + 140 000) = – Q² + 1 020Q – 140 000 (nghìn đồng).

Vậy lợi nhuận của xí nghiệp đó là y = – Q² + 1 020Q – 140 000 (nghìn đồng).

b) Xét tam thức bậc hai y = – Q² + 1 020Q – 140 000.

Nhận thấy tam thức này có hai nghiệm $Q_1=510-10\sqrt{1201}$, $Q_2=510+10\sqrt{1201}$ và hệ số a = – 1 < 0. Ta có bảng xét dấu sau:

Do $Q\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $510-10\sqrt{1201}\approx \mathrm{163,45}$; $510+10\sqrt{1201}\approx \mathrm{856,55}$.

Khi đó xí nghiệp hòa vốn khi lợi nhuận bằng 0 hay y = 0, tức là Q = 164 hoặc Q = 857.

Vậy xí nghiệp đó hòa vốn khi sản xuất 164 sản phẩm hoặc 857 sản phẩm.

c) Xí nghiệp không bị lỗ, tức là lời hoặc hòa vốn, nên theo bảng xét dấu ở câu b thì xí nghiệp không bị lỗ khi và chỉ khi y ≥ 0, tức là 164 ≤ Q ≤ 857.

Vậy xí nghiệp không bị lỗ khi sản xuất từ 164 sản phẩm đến 857 sản phẩm.