Bài tập Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có đáp án

Hướng dẫn giải

Đầu tiên ta phải lập phương trình tổng quát của hai đường thẳng a và b, sau đó giải hệ hai phương trình trên, ta được nghiệm duy nhất chính là giao điểm của hai đường thẳng a và b.

Hướng dẫn giải

Có 3 vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng, đó là cắt nhau, song song, trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Vì \(\overrightarrow {{u_1}} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆₁ nên giá của vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) song song hoặc trùng với đường thẳng ∆₁.

Vì \(\overrightarrow {{u_2}} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆₂ nên giá của vectơ \(\overrightarrow {{u_2}} \) song song hoặc trùng với đường thẳng ∆₂.

 ∆₁ cắt ∆₂

Khi đó giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cắt nhau.

Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

Hướng dẫn giải:

∆₁ song song với ∆₂

Khi đó giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) song song hoặc trùng nhau.

Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

Hướng dẫn giải:

∆₁ trùng với ∆₂

Khi đó giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) song song hoặc trùng nhau.

Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,\,\,1} \right)\).

Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;\,\,2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}} \), do đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

Chọn t₁ = 0, ta có điểm M(1; – 2) thuộc ∆₁. Thay tọa độ điểm M vào phương trình ∆₂, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 2{t_2}\\ - 2 = - 3 + 2{t_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_2} = \frac{1}{2}\\{t_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {t_2} = \frac{1}{2}\), vậy điểm M cũng thuộc ∆₂.

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trùng nhau.

Hướng dẫn giải

* Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng ∆₁ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\3x - 2y + 6 = 0\end{array} \right.\).

Phương trình trên tương đương với \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\3x - 2y = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\].

Hệ có nghiệm duy nhất là (x; y) = \(\left( { - 1;\,\,\frac{3}{2}} \right)\).

Do đó đường thẳng d cắt đường thẳng ∆₁ tại điểm có tọa độ \(\left( { - 1;\,\,\frac{3}{2}} \right)\).

* Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng ∆₂ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x + 2y + 2 = 0\end{array} \right.\).

Phương trình trên tương đương với \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\x + 2y =  - 2\end{array} \right.\].

Hệ trên vô nghiệm.

Do đó đường thẳng d và đường thẳng ∆₂ song song với nhau.

* Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng ∆₃ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\2x + 4y - 4 = 0\end{array} \right.\).

Phương trình trên tương đương với \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\x + 2y = 2\end{array} \right.\].

Hệ trên có vô số nghiệm.

Do đó, hai đường thẳng d và ∆₃ có vô số điểm chung nên d trùng với ∆₃.

Hướng dẫn giải

Quan sát Hình 40a, một góc nhọn trong bốn góc ở hình là góc A₁ (có thể trả lời là góc A₃).

Quan sát Hình 40b, ta thấy bốn góc tại đỉnh A là bốn góc vuông, nên bốn góc này bằng nhau và bằng 90°.