Bài tập Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có đáp án

A. Các câu hỏi trong bài

Trong thực tiễn, có những tình huống đòi hỏi chúng ta phải xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, giao điểm của hai đường thẳng, … Chẳng hạn: Ở môn thể thao nội dung 10 m súng trường hơi di động, mục tiêu di động trên một đường thẳng b song song với mặt đất 1,4 m; viên đạn di động trên một đường thẳng a (Hình 39). Để bắn trúng mục tiêu, vận động viên phải ước lượng được giao điểm M của a và b sao cho thời gian chuyển động đến điểm M của viên đạn và của mục tiêu là bằng nhau.

Làm thế nào để xác định giao điểm M của hai đường thẳng a và b?

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \). Nêu điều kiện về hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) trong mỗi trường hợp sau:

∆₁ cắt ∆₂;

∆₁ song song với ∆₂;

∆₁ trùng với ∆₂.

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0 với mỗi đường thẳng sau

Δ₁: 3x – 2y + 6 = 0;

Δ₂: x + 2y + 2 = 0;

Δ₃: 2x + 4y – 4 = 0.

Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại A tạo thành bốn góc đỉnh A (quy ước không kể góc bệt và góc không).

Quan sát Hình 40a và đọc tên một góc nhọn trong bốn góc đó.

Quan sát Hình 40b và nêu đặc điểm bốn góc tại đỉnh A.

Cho hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ cắt nhau tại I và có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \). Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ sao cho \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {IB} \).

Quan sát Hình 41a, Hình 41b, hãy nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ và độ lớn của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} \).

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};\,{b_1}} \right),\,\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};\,{b_2}} \right)\). Tính cos(∆₁, ∆₂).

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0 và điểm M(– 1; 1). Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng ∆.

 Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng MH.

Viết phương trình tham số của đường thẳng MH.

B. Bài tập

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

d₁: 3x + 2y – 5 = 0 và d₂: x – 4y + 1 = 0;

d₃: x – 2y + 3 = 0 và d₄: – 2x + 4y + 10 = 0;

d₅: 4x + 2y – 3 = 0 và d₆: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + t\\y = \frac{5}{2} - 2t\end{array} \right.\).

Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?

Δ₁: mx – y + 1 = 0 và Δ₂: 2x – y + 3 = 0.

Cho ba điểm A(2; 4), B(– 1; 2) và C(3; – 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều  khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t ≥ 0), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 33t\\y = - \,4 + 25t\end{array} \right.\), vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t).

Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?