Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại A tạo thành bốn góc đỉnh A (quy ước không kể góc bệt và góc không).

Quan sát Hình 40a và đọc tên một góc nhọn trong bốn góc đó.

Quan sát Hình 40b và nêu đặc điểm bốn góc tại đỉnh A.

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng đi qua B và cách đều A và C.

Do d đi qua B(– 1; 2) nên phương trình đường thẳng d có dạng a(x + 1) + b(y – 2) = 0 hay ax + by + a – 2b = 0 (với a và b không đồng thời bằng 0).

Vì d cách đều A và C nên d(A, d) = d(C, d).

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a + 4b + a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {3a - b + a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \left| {3a + 2b} \right| = \left| {4a - 3b} \right|\)

Trường hợp 1: 3a + 2b = 4a – 3b ⇔ a = 5b.

Chọn b = 1, a = 5 . 1 = 5, ta có phương trình đường thẳng d là 5x + y + 5 – 2 = 0 hay 5x + y + 3 = 0.

Trường hợp 2: 3a + 2b = – (4a – 3b) ⇔ 7a = b.

Chọn a = 1, b = 7 . 1 = 7, ta có phương trình đường thẳng d là x + 7y + 1 – 2 . 7 = 0 hay x + 7y – 13 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là 5x + y + 3 = 0 hoặc x + 7y – 13 = 0.

Lưu ý: Do vectơ \(\overrightarrow n = \left( {a;\,b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d, mà một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, nên khi ta có hệ thức liên hệ giữa a và b thì ta có thể chọn a rồi suy ra b hoặc ngược lại.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, - 1} \right)\).

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).

Do đó, cos(d₁, d₂) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\,} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \,.\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\,.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \,.\,\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy (d₁, d₂) = 45°.