Câu hỏi:

11/07/2024 9,297

Cho ba điểm A(2; – 1), B(1; 2) và C(4; – 2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;\,3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).

\(cos\widehat {BAC} = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)\( = \frac{{\left( { - 1} \right).2 + 3.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} \,.\,\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 5}}{{5\sqrt 2 }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, \(\widehat {BAC} = 135^\circ \).

Lại có, cos(AB, AC) = \[\left| {cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Do đó, (AB, AC) = 45°.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng đi qua B và cách đều A và C.

Do d đi qua B(– 1; 2) nên phương trình đường thẳng d có dạng a(x + 1) + b(y – 2) = 0 hay ax + by + a – 2b = 0 (với a và b không đồng thời bằng 0).

Vì d cách đều A và C nên d(A, d) = d(C, d).

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a + 4b + a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {3a - b + a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \left| {3a + 2b} \right| = \left| {4a - 3b} \right|\)

Trường hợp 1: 3a + 2b = 4a – 3b a = 5b.

Chọn b = 1, a = 5 . 1 = 5, ta có phương trình đường thẳng d là 5x + y + 5 – 2 = 0 hay 5x + y + 3 = 0.

Trường hợp 2: 3a + 2b = – (4a – 3b) 7a = b.

Chọn a = 1, b = 7 . 1 = 7, ta có phương trình đường thẳng d là x + 7y + 1 – 2 . 7 = 0 hay x + 7y – 13 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là 5x + y + 3 = 0 hoặc x + 7y – 13 = 0.

Lưu ý: Do vectơ \(\overrightarrow n = \left( {a;\,b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d, mà một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, nên khi ta có hệ thức liên hệ giữa a và b thì ta có thể chọn a rồi suy ra b hoặc ngược lại.

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, - 1} \right)\).

Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).

Do đó, cos(d1, d2) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\,} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \,.\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\,.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \,.\,\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy (d1, d2) = 45°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP