Một kĩ sư thiết kế đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S và từ vị trí S đến vị trí C trên cù lao như Hình 38. Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S và từ S đến C lần lượt là 3 triệu đồng và 5 triệu đồng. Biết tổng số tiền công là 16 triệu đồng. Tính tổng số ki-lô-mét đường dây điện đã thiết kế.

Gọi số ki-lô-mét đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S là x (km) (x > 0).

Khi đó trên hình vẽ ta có: SA = x km, AB = 4 km, BC = 1 km.

Ta thấy AB = SA + SB, suy ra SB = AB – SA = 4 – x (km). (do SB > 0 nên 4 – x > 0 hay x < 4)

Lại có tam giác SBC vuông tại B nên theo định lý Pythagore ta có:

SC² = BC² + BS² = 1² + (4 – x)² = 1 + 16 – 8x + x² = x² – 8x + 17

Suy ra: SC = $\sqrt{x^2-8x+17}$   (km)

Vì tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S là 3 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S là: 3x (triệu đồng).

Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ S đến C là 5 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ S đến C là: $5\sqrt{x^2-8x+17}$  (triệu đồng).

Tổng số tiền công thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S và từ S đến C là 16 triệu đồng nên ta có phương trình: $3x+5\sqrt{x^2-8x+17}=16$ .

Ta cần giải phương trình $3x+5\sqrt{x^2-8x+17}=16$  (1).

Ta có (1)$\iff 5\sqrt{x^2-8x+17}=16-3x$  (2).

Trước hết ta giải bất phương trình: 16 – 3x > 0 ⇔ x <$\frac{16}{3}$ .

Mà 0 < x < 4 nên điều kiện của phương trình (1) là 0 < x < 4.

Bình phương hai vế của (2) ta được: 25.(x² – 8x + 17) = (16 – 3x)²

⇔ 25x² – 200x + 425 = 256 – 96x + 9x²

⇔ 16x² – 104x + 169 = 0

⇔ x = 3,25 (thỏa mãn điều kiện).

Do đó số ki-lô-mét đường dây từ vị trí A đến S là 3,25 km.

Số ki-lô-mét đường dây từ vị trí S đến C là: $\sqrt{x^2-8x+17}=\sqrt{{\left(\mathrm{3,25}\right)}^2-\mathrm{8.3,25}+17}=\mathrm{1,25}$  (km).

Vậy tổng số ki-lô-mét đường dây đã thiết kế là 3,25 + 1,25 = 4,5 (km).