Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x+2}=x$ ;

b) $\sqrt{2x^2+3x-2}=\sqrt{x^2+x+6}$ ;

c) $\sqrt{2x^2+3x-1}=x+3$ .

Gọi số ki-lô-mét đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S là x (km) (x > 0).

Khi đó trên hình vẽ ta có: SA = x km, AB = 4 km, BC = 1 km.

Ta thấy AB = SA + SB, suy ra SB = AB – SA = 4 – x (km). (do SB > 0 nên 4 – x > 0 hay x < 4)

Lại có tam giác SBC vuông tại B nên theo định lý Pythagore ta có:

SC² = BC² + BS² = 1² + (4 – x)² = 1 + 16 – 8x + x² = x² – 8x + 17

Suy ra: SC = $\sqrt{x^2-8x+17}$   (km)

Vì tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S là 3 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S là: 3x (triệu đồng).

Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ S đến C là 5 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ S đến C là: $5\sqrt{x^2-8x+17}$  (triệu đồng).

Tổng số tiền công thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S và từ S đến C là 16 triệu đồng nên ta có phương trình: $3x+5\sqrt{x^2-8x+17}=16$ .

Ta cần giải phương trình $3x+5\sqrt{x^2-8x+17}=16$  (1).

Ta có (1)$\iff 5\sqrt{x^2-8x+17}=16-3x$  (2).

Trước hết ta giải bất phương trình: 16 – 3x > 0 ⇔ x <$\frac{16}{3}$ .

Mà 0 < x < 4 nên điều kiện của phương trình (1) là 0 < x < 4.

Bình phương hai vế của (2) ta được: 25.(x² – 8x + 17) = (16 – 3x)²

⇔ 25x² – 200x + 425 = 256 – 96x + 9x²

⇔ 16x² – 104x + 169 = 0

⇔ x = 3,25 (thỏa mãn điều kiện).

Do đó số ki-lô-mét đường dây từ vị trí A đến S là 3,25 km.

Số ki-lô-mét đường dây từ vị trí S đến C là: $\sqrt{x^2-8x+17}=\sqrt{{\left(\mathrm{3,25}\right)}^2-\mathrm{8.3,25}+17}=\mathrm{1,25}$  (km).

Vậy tổng số ki-lô-mét đường dây đã thiết kế là 3,25 + 1,25 = 4,5 (km).

a) 2x² + 3x + 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai 2x² + 3x + 1 có ∆ = 3² – 4 . 2 . 1 = 1 > 0 nên tam thức này có hai nghiệm x₁ = – 1, x₂ = $-\frac{1}{2}$  và có hệ số a = 2 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức 2x² + 3x + 1 không âm là $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x² + 3x + 1 là $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$ .

b) – 3x² + x + 1 > 0

Tam thức bậc hai – 3x² + x + 1 có ∆ = 1² – 4 . (– 3) . 1 = 13 > 0 nên tam thức này có hai nghiệm $x_1=\frac{1-\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$  và hệ số a = – 3 < 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 3x² + x + 1 mang dấu “+” là $\left(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + x + 1 là $\left(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)$ .

c) 4x² + 4x + 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai 4x² + 4x + 1 có ∆ = 4² – 4 . 4 . 1 = 0 nên tam thức này có nghiệm kép là x = $-\frac{1}{2}$  và hệ số a = 4 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 4x² + 4x + 1 > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-\frac{1}{2}\right\}$  và 4x² + 4x + 1 = 0 tại x = $-\frac{1}{2}$ .

Do đó bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ℝ$ .

d) – 16x²  + 8x – 1 < 0

Tam thức bậc hai – 16x² + 8x – 1 < 0 có ∆ = 8² – 4 . (– 16) . (– 1) = 0 nên tam thức có nghiệm kép là x = $\frac{1}{4}$  và hệ số a = – 16 < 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 16x² + 8x – 1 mang dấu “–” là $ℝ\backslash \left\{\frac{1}{4}\right\}$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 16x² + 8x – 1 là $ℝ\backslash \left\{\frac{1}{4}\right\}$ .

e) 2x² + x + 3 < 0

Tam thức bậc hai 2x² + x + 3 có ∆ = 1² – 4 . 2 . 3 = – 23 < 0 và hệ số a = 2 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 2x² + x + 3 > 0 (cùng dấu với a) với mọi $x\in ℝ$ .

Vậy bất phương trình 2x² + x + 3 < 0 vô nghiệm.

g) – 3x² + 4x – 5 < 0

Tam thức bậc hai – 3x² + 4x – 5 có ∆ = 4² – 4 . (– 3) . (– 5) = – 44 < 0 và hệ số a = – 3.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy – 3x² + 4x – 5 < 0 (cùng dấu với a) với mọi $x\in ℝ$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + 4x – 5 < 0 là $ℝ$ .