Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7 \). Tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Áp dụng công thức trên ta được:

\({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

⇔ \({\sqrt 7 ^2} = {2^2} + {3^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

⇔ \(7 = 4 + 9 + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

⇔ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3\)

Mặt khác ta lại có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\)

⇔ \( - 3 = 2.3.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\)

⇔ \(c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{2}\)

⇔ \(\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \).

Vậy \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3\) và \(\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \).