Câu hỏi:

13/06/2022 4,824

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + ... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$ với n $\in$ ℕ^*.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Nhị thức Newton có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Với n = 1, ta có: (a + b)¹ = a + b =

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a + b)}^{k + 1} = C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{(k + 1) - 1} b + ... + C_{k + 1}^{(k + 1) - 1} a b^{(k + 1) - 1} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(a + b)}^{k} = C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k} .$

Khi đó:

${(a + b)}^{k + 1} = (a + b) {(a + b)}^{k}$

$= a {(a + b)}^{k} + b {(a + b)}^{k}$

$= a (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k})$

$+ b (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k})$

$= (C_{k}^{0} a^{k + 1} + C_{k}^{1} a^{k} b + C_{k}^{2} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k}^{k - 1} a^{2} b^{k - 1} + C_{k}^{k} a b^{k})$

$+ (C_{k}^{0} a^{k} b + C_{k}^{1} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k}^{k - 2} a^{2} b^{k - 1} + C_{k}^{k - 1} a b^{k} + C_{k}^{k} b^{k + 1})$

$= C_{k}^{0} a^{k + 1} + (C_{k}^{0} + C_{k}^{1}) a^{k} b + (C_{k}^{1} + C_{k}^{2}) a^{k - 1} b^{2} + ...$

$+ (C_{k}^{k - 2} + C_{k}^{k - 1}) a^{2} b^{k - 1} + (C_{k}^{k - 1} + C_{k}^{k}) a b^{k} + C_{k}^{k} b^{k + 1}$

$= 1. a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{k} b + C_{k + 1}^{2} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k + 1}^{k - 1} a^{2} b^{k - 1} + C_{k + 1}^{k} a b^{k} + 1. b^{k + 1}$

$(v ì C_{k}^{i} + C_{k}^{i + 1} = C_{k + 1}^{i + 1} \forall 0 \leq i \leq k, i \in ℕ, k \in ℕ *)$

$= C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{(k + 1) - 1} b + ... + C_{k + 1}^{(k + 1) - 1} a b^{(k + 1) - 1} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1} .$

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)⁶;

b) (x – 3y)⁶;

c) (x – 1)ⁿ;

d) (x + 2)ⁿ;

e) (x + y)²ⁿ;

g) (x – y)²ⁿ;

trong đó n lả số nguyên dương.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,774

Câu 2:

Cho tập hợp A = {x₁; x₂; x₃; ... ; x_n} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Xem đáp án » 13/06/2022 4,280

Câu 3:

Cho $n \in ℕ^{*}$ . Chứng minh $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n} .$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,636

Câu 4:

Xác định hệ số của:

a) x¹² trong khai triển của (x + 4)³⁰;

b) x¹⁰ trong khai triển của (3 + 2x)³⁰;

c) x¹⁵ và x¹⁶ trong khai triển của ${(\frac{2 x}{3} - \frac{1}{7})}^{51} .$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,669

Câu 5:

Khai triển biểu thức (x + 2)⁷.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,559

Câu 6:

Tính:

a) $S = C_{_{2022}}^{0} 9^{2022} + C_{_{2022}}^{1} 9^{2021} + ... + C_{_{2022}}^{k} 9^{2022 - k} + ... + C_{_{2022}}^{2021} 9 + C_{2022}^{2022} .$

b) $T = C_{2022}^{0} 4^{2022} - C_{2022}^{1} 4^{2021} . 3 + ... - C_{2022}^{2021} 4 . 3^{2021} + C_{2022}^{2022} 3^{2022} .$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,327

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp: (a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+...+Cnn−1abn−1+Cnnbn với n∈ℕ*.

Bình luận

Khai triển các biểu thức sau: a) (2x + y)6; b) (x – 3y)6; c) (x – 1)n; d) (x + 2)n; e) (x + y)2n; g) (x – y)2n; trong đó n lả số nguyên dương.

Cho tập hợp A = {x1; x2; x3; ... ; xn} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Cho n∈ℕ* . Chứng minh Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn−1+Cnn=2n.

Xác định hệ số của: a) x12 trong khai triển của (x + 4)30; b) x10 trong khai triển của (3 + 2x)30; c) x15 và x16 trong khai triển của 2x3−1751.

Khai triển biểu thức (x + 2)7.

Tính: a) S=C2022092022+C2022192021+...+C2022k92022−k+...+C202220219+C20222022. b) T=C2022042022−C2022142021 . 3+...−C202220214 . 32021+C2022202232022.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + ... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$ với n $\in$ ℕ^*.

Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)⁶;

b) (x – 3y)⁶;

c) (x – 1)ⁿ;

d) (x + 2)ⁿ;

e) (x + y)²ⁿ;

g) (x – y)²ⁿ;

trong đó n lả số nguyên dương.

Cho tập hợp A = {x₁; x₂; x₃; ... ; x_n} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Cho $n \in ℕ^{*}$ . Chứng minh $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n} .$

Xác định hệ số của:

a) x¹² trong khai triển của (x + 4)³⁰;

b) x¹⁰ trong khai triển của (3 + 2x)³⁰;

c) x¹⁵ và x¹⁶ trong khai triển của ${(\frac{2 x}{3} - \frac{1}{7})}^{51} .$

Khai triển biểu thức (x + 2)⁷.

Tính:

a) $S = C_{_{2022}}^{0} 9^{2022} + C_{_{2022}}^{1} 9^{2021} + ... + C_{_{2022}}^{k} 9^{2022 - k} + ... + C_{_{2022}}^{2021} 9 + C_{2022}^{2022} .$

b) $T = C_{2022}^{0} 4^{2022} - C_{2022}^{1} 4^{2021} . 3 + ... - C_{2022}^{2021} 4 . 3^{2021} + C_{2022}^{2022} 3^{2022} .$