Câu hỏi:

13/06/2022 5,001

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + ... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$ với n $\in$ ℕ^*.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Chuyên đề Nhị thức Newton có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

+) Với n = 1, ta có: (a + b)¹ = a + b =

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a + b)}^{k + 1} = C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{(k + 1) - 1} b + ... + C_{k + 1}^{(k + 1) - 1} a b^{(k + 1) - 1} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(a + b)}^{k} = C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k} .$

Khi đó:

${(a + b)}^{k + 1} = (a + b) {(a + b)}^{k}$

$= a {(a + b)}^{k} + b {(a + b)}^{k}$

$= a (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k})$

$+ b (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + ... + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k})$

$= (C_{k}^{0} a^{k + 1} + C_{k}^{1} a^{k} b + C_{k}^{2} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k}^{k - 1} a^{2} b^{k - 1} + C_{k}^{k} a b^{k})$

$+ (C_{k}^{0} a^{k} b + C_{k}^{1} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k}^{k - 2} a^{2} b^{k - 1} + C_{k}^{k - 1} a b^{k} + C_{k}^{k} b^{k + 1})$

$= C_{k}^{0} a^{k + 1} + (C_{k}^{0} + C_{k}^{1}) a^{k} b + (C_{k}^{1} + C_{k}^{2}) a^{k - 1} b^{2} + ...$

$+ (C_{k}^{k - 2} + C_{k}^{k - 1}) a^{2} b^{k - 1} + (C_{k}^{k - 1} + C_{k}^{k}) a b^{k} + C_{k}^{k} b^{k + 1}$

$= 1. a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{k} b + C_{k + 1}^{2} a^{k - 1} b^{2} + ... + C_{k + 1}^{k - 1} a^{2} b^{k - 1} + C_{k + 1}^{k} a b^{k} + 1. b^{k + 1}$

$(v ì C_{k}^{i} + C_{k}^{i + 1} = C_{k + 1}^{i + 1} \forall 0 \leq i \leq k, i \in ℕ, k \in ℕ *)$

$= C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{(k + 1) - 1} b + ... + C_{k + 1}^{(k + 1) - 1} a b^{(k + 1) - 1} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1} .$

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)⁶;

b) (x – 3y)⁶;

c) (x – 1)ⁿ;

d) (x + 2)ⁿ;

e) (x + y)²ⁿ;

g) (x – y)²ⁿ;

trong đó n lả số nguyên dương.

Xem đáp án

Lời giải

a) (2x + y)⁶

$= C_{6}^{0} {(2 x)}^{6} + C_{6}^{1} {(2 x)}^{5} y + C_{6}^{2} {(2 x)}^{4} y^{2} + C_{6}^{3} {(2 x)}^{3} y^{3} + C_{6}^{2} {(2 x)}^{2} y^{2} + C_{6}^{1} (2 x) y^{5} + C_{6}^{6} y^{6}$

$= 2^{6} x^{6} + C_{6}^{1} 2^{5} x^{5} y + C_{6}^{2} 2^{4} x^{4} y^{2} + C_{6}^{3} 2^{3} x^{3} y^{3} + C_{6}^{4} 2^{2} x^{2} y^{4} + C_{6}^{5} 2 x y^{5} + y^{6} .$

b) (x – 3y)⁶

= [x + (–3y)]⁶

^{$= C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} (- 3 y) + C_{6}^{2} x^{4} {(- 3 y)}^{2} + C_{6}^{3} x^{3} {(- 3 y)}^{3} + C_{6}^{4} x^{2} {(- 3 y)}^{4} + C_{6}^{5} x {(- 3 y)}^{5} + C_{6}^{6} {(- 3 y)}^{6}$}

^{$= x^{6} - C_{6}^{1} 3 x^{5} y + C_{6}^{2} 3^{2} x^{4} y^{2} - C_{6}^{3} 3^{3} x^{3} y^{3} + C_{6}^{4} 3^{4} x^{2} y^{4} - C_{6}^{5} 3^{5} x y^{5} + 3^{6} y^{6} .$}

c) (x – 1)ⁿ

= [(x + (–1)]ⁿ

$= C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} (- 1) + C_{n}^{2} x^{n - 2} {(- 1)}^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} x {(- 1)}^{n - 1} + C_{n}^{n} {(- 1)}^{n}$

$= x^{n} + C_{n}^{1} (- 1) x^{n - 1} + C_{n}^{2} {(- 1)}^{2} x^{n - 2} + ... + C_{n}^{n - 1} {(- 1)}^{n - 1} x + {(- 1)}^{n} .$

d) (x + 2)ⁿ

$= C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} 2 + C_{n}^{2} x^{n - 2} 2^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} x 2^{n - 1} + C_{n}^{n} 2^{n}$

$= x^{n} + C_{n}^{1} 2 x^{n - 1} + C_{n}^{2} 2^{2} x^{n - 2} + ... + C_{n}^{n - 1} 2^{n - 1} x + 2^{n} .$

e) (x + y)²ⁿ

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} y + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} y^{2} + ... + C_{2 n}^{2 n - 1} x y^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} y^{2 n}$

$= x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} y + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} y^{2} + ... + C_{2 n}^{2 n - 1} x y^{2 n - 1} + y^{2 n} .$

g) (x – y)²ⁿ

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} + C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} (- y) + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} {(- y)}^{2} + ... + C_{2 n}^{2 n - 1} x {(- y)}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} {(- y)}^{2 n}$

$= C_{2 n}^{0} x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} y + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} y^{2} - ... - C_{2 n}^{2 n - 1} x y^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} y^{2 n}$

$= x^{2 n} - C_{2 n}^{1} x^{2 n - 1} y + C_{2 n}^{2} x^{2 n - 2} y^{2} - ... - C_{2 n}^{2 n - 1} x y^{2 n - 1} + y^{2 n} .$

Câu 2

Cho tập hợp A = {x₁; x₂; x₃; ... ; x_n} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Xem đáp án

Lời giải

Vì A có n phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của tập hợp A là: $C_{n}^{k} .$

Như vậy tổng số tập con của tập hợp A là: $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} .$

Lại có $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n}$ (theo luyện tập 2).

Vậy tập hợp A có tất cả 2ⁿ tập con.

Câu 3

Cho $n \in ℕ^{*}$ . Chứng minh $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Xác định hệ số của:

a) x¹² trong khai triển của (x + 4)³⁰;

b) x¹⁰ trong khai triển của (3 + 2x)³⁰;

c) x¹⁵ và x¹⁶ trong khai triển của ${(\frac{2 x}{3} - \frac{1}{7})}^{51} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Khai triển biểu thức (x + 2)⁷.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tính:

a) $S = C_{_{2022}}^{0} 9^{2022} + C_{_{2022}}^{1} 9^{2021} + ... + C_{_{2022}}^{k} 9^{2022 - k} + ... + C_{_{2022}}^{2021} 9 + C_{2022}^{2022} .$

b) $T = C_{2022}^{0} 4^{2022} - C_{2022}^{1} 4^{2021} . 3 + ... - C_{2022}^{2021} 4 . 3^{2021} + C_{2022}^{2022} 3^{2022} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp: (a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+...+Cnn−1abn−1+Cnnbn với n∈ℕ*.

Khai triển các biểu thức sau: a) (2x + y)6; b) (x – 3y)6; c) (x – 1)n; d) (x + 2)n; e) (x + y)2n; g) (x – y)2n; trong đó n lả số nguyên dương.

Cho tập hợp A = {x1; x2; x3; ... ; xn} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Cho n∈ℕ* . Chứng minh Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn−1+Cnn=2n.

Xác định hệ số của: a) x12 trong khai triển của (x + 4)30; b) x10 trong khai triển của (3 + 2x)30; c) x15 và x16 trong khai triển của 2x3−1751.

Khai triển biểu thức (x + 2)7.

Tính: a) S=C2022092022+C2022192021+...+C2022k92022−k+...+C202220219+C20222022. b) T=C2022042022−C2022142021 . 3+...−C202220214 . 32021+C2022202232022.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + ... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$ với n $\in$ ℕ^*.

Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)⁶;

b) (x – 3y)⁶;

c) (x – 1)ⁿ;

d) (x + 2)ⁿ;

e) (x + y)²ⁿ;

g) (x – y)²ⁿ;

trong đó n lả số nguyên dương.

Cho tập hợp A = {x₁; x₂; x₃; ... ; x_n} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Cho $n \in ℕ^{*}$ . Chứng minh $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n} .$

Xác định hệ số của:

a) x¹² trong khai triển của (x + 4)³⁰;

b) x¹⁰ trong khai triển của (3 + 2x)³⁰;

c) x¹⁵ và x¹⁶ trong khai triển của ${(\frac{2 x}{3} - \frac{1}{7})}^{51} .$

Khai triển biểu thức (x + 2)⁷.

Tính:

a) $S = C_{_{2022}}^{0} 9^{2022} + C_{_{2022}}^{1} 9^{2021} + ... + C_{_{2022}}^{k} 9^{2022 - k} + ... + C_{_{2022}}^{2021} 9 + C_{2022}^{2022} .$

b) $T = C_{2022}^{0} 4^{2022} - C_{2022}^{1} 4^{2021} . 3 + ... - C_{2022}^{2021} 4 . 3^{2021} + C_{2022}^{2022} 3^{2022} .$