${(x + 2)}^{7} = x^{7} + C_{7}^{1} x^{6} 2 + C_{7}^{2} x^{5} 2^{2} + C_{7}^{3} x^{4} 2^{3} + C_{7}^{4} x^{3} 2^{4} + C_{7}^{5} x^{2} 2^{5} + C_{7}^{6} x 2^{6} + 2^{7} .$

Câu 3/23

Cho $n \in ℕ^{*}$ . Chứng minh $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n} .$

Lời giải

Ta có:

${(x + 1)}^{n} = C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} . 1 + C_{n}^{2} x^{n - 2} . 1^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} x . 1^{n - 1} + C_{n}^{n} . 1^{n} = C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} + C_{n}^{2} x^{n - 2} + ... + C_{n}^{n - 1} x + C_{n}^{n} .$

Cho x = 1, ta được:

${(1 + 1)}^{n} = C_{n}^{0} 1^{n} + C_{n}^{1} 1^{n - 1} + C_{n}^{2} 1^{n - 2} + ... + C_{n}^{n - 1} 1 + C_{n}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} .$

Vậy $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = {(1 + 1)}^{n} = 2^{n} .$

Câu 4/23

Ta đã biết:

${(a + b)}^{2} = C_{2}^{0} a^{2} + C_{2}^{1} a b + C_{2}^{2} b^{2};$

${(a + b)}^{3} = C_{3}^{0} a^{3} + C_{3}^{1} a^{2} b + C_{3}^{2} a b^{2} + C_{3}^{3} b^{3};$

${(a + b)}^{4} = C_{4}^{0} a^{4} + C_{4}^{1} a^{3} b + C_{4}^{2} a^{2} b^{2} + C_{4}^{3} a b^{3} + C_{4}^{4} b^{4};$

${(a + b)}^{5} = C_{5}^{0} a^{5} + C_{5}^{1} a^{4} b + C_{5}^{2} a^{3} b^{2} + C_{5}^{3} a^{2} b^{3} + C_{5}^{4} a b^{4} + C_{5}^{5} b^{5} .$

Ta sắp xểp những hệ số tổ hợp ở trên như sau:

Nêu phép toán để từ hai số hạng của dòng trên suy ra được số hạng tương ứng (thể hiện ở mũi tên ↓) ở dòng dưới trong bảng các hệ số nói trên.

Lời giải

Tổng của hai số hạng của dòng trên bằng số hạng tương ứng ở dòng dưới.

Câu 5/23

Sử dụng tam giác Pascal để khai triển:

a) (x + y)⁷;

b) (x – 2)⁷.

Lời giải

Tam giác Pascal ứng với n ≤ 7 là:

Sử dụng tam giác Pascal để khai triển: a) (x + y)^7; b) (x – 2)^7. (ảnh 1)

Vậy:

a) ${(x + y)}^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} .$

b) ${(x - 2)}^{7}$

$= x^{7} + 7 x^{6} . (- 2) + 21 x^{5} {(- 2)}^{2} + 35 x^{4} {(- 2)}^{3} + 35 x^{3} {(- 2)}^{4} + 21 x^{2} {(- 2)}^{5} + 7 x {(- 2)}^{6} + {(- 2)}^{7}$

$= x^{7} - 14 x^{6} + 84 x^{5} - 280 x^{4} + 560 x^{3} - 672 x^{2} + 448 x - 128.$

Câu 6/23

Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)⁴ ( Hình 7a) và nhị thức (a + b)⁵ (Hình 7b) sau:

a) So sánh từng cặp hệ số $C_{4}^{0}$ và $C_{4}^{4}; C_{4}^{1}$ và $C_{4}^{3}$ ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số $C_{5}^{0}$ và $C_{5}^{5}; C_{5}^{1} v à C_{5}^{4}; C_{5}^{2} v à C_{5}^{3}$ ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số:

$C_{4}^{0} C_{4}^{1} C_{4}^{2} C_{4}^{3} C_{4}^{4}$ (trong khai triển (a + b)⁴)

$C_{5}^{0} C_{5}^{1} C_{5}^{2} C_{5}^{3} C_{5}^{4} C_{5}^{5}$ (trong khai triển (a + b)⁵)

Lời giải

Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)4 ( Hình 7a) và nhị thức (ảnh 2)

Câu 7/23

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)²⁰²²;

b) (a + b)²⁰²³.

Lời giải

Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)ⁿ tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên:

a) Hệ số lớn nhất của (a + b)²⁰²² là $C_{2022}^{1011} .$

b) Hệ số lớn nhất của (a + b)²⁰²³ là $C_{2023}^{1011} v à C_{2023}^{1012} .$

Câu 8/23

Quan sát khai triển nhị thức:

${(a x + b)}^{n} = C_{n}^{0} {(a x)}^{n} + C_{n}^{1} {(a x)}^{n - 1} b + C_{n}^{2} {(a x)}^{n - 2} b^{2} + ... + C_{n}^{n - 1} (a x) b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

$= C_{n}^{0} a^{n} x^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b x^{n - 1} + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} x^{n - 2} + ... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} x + C_{n}^{n} b^{n} .$

Nêu công thức tính hệ số của x^k trong khai triển trên.

Lời giải

Hệ số của x^k trong khai triển trên là $C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k}$ với k $\in$ ℕ, k ≤ n, n $\in$ ℕ^*.

Câu 9/23