Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${∆}_1: \frac{x-4}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+5}{-1}$ và ${∆}_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z}{1}$. Giả sử $M\in {∆}_1, N\in {∆}_2$ sao cho MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ${∆}_1$ và ${∆}_2$. Tính  $\overrightarrow{MN }$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2;-2) và B(2;2;-4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính $a^2+b^2+c^2$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d: \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}$ mặt phẳng (P): x+y-2z+5=0 và A(1;-1;2) Đường thẳng $∆$  cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN . Một vectơ chỉ phương của $∆$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(3;1;2), B(-1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): x^2+{\left(y-1\right)}^2+z^2=2$. Trong các điểm được cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu (S)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các tia Oy; Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $∆: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-1}$  và mặt  phẳng (P): x+2y+2z-4=0. Phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng $∆$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a }=(3;-2;-1)$, $\overrightarrow{b }=(-2;0;-1)$. Độ dài $\overrightarrow{a }\hspace{0.17em}+ \overrightarrow{b}$ là: