Trên mặt nước có hai nguồn kết hợp A và B (AB = 15 cm) dao động cùng pha, cùng biên độ theo phương thẳng đứng. Trên mặt nước O là điểm dao động với biên độ cực đại OA = 9 cm, OB = 12 cm. Điểm M thuộc đoạn AB, gọi (d) là đường thẳng đi qua O và M. Cho M di chuyển trên đoạn AB đến vị trí sao cho tổng khoảng cách từ hai nguồn đến đường thẳng (d) là lớn nhất thì phần tử nước tại M dao động với biên độ cực đại. Biết tốc độ truyền sóng là 12 cm/s. Tần số dao động nhỏ nhất của nguồn là

Đáp án D

O là điểm dao động với biên độ cực đại nên $OB-OA=k\lambda \iff k\lambda =3\left(1\right)$

Từ dữ kiện bài cho ta có hình vẽ:

Tổng khoảng cách từ hai nguồn đến đường thẳng (d) là: $AH+B{H}^{\text{'}}\le AM+BM$ $\Rightarrow {\left(AH+B{H}^{\text{'}}\right)}_{\max }=AM+BM$ $=AB\iff H\equiv M\equiv H^{\text{'}}$

® M là chân đường cao hạ từ O xuống AB

Khi đó ta có hình vẽ ứng với trường hợp này:

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong hai tam giác vuông AMO và BMO ta có:

$O{A}^2-A{M}^2=O{B}^2-B{M}^2$ $\iff 9^2-A{M}^2={12}^2-B{M}^2$

$\Rightarrow B{M}^2-A{M}^2=63$ $\iff \left(BM-AM\right).\left(BM+AM\right)=63$ $\Rightarrow BM-AM=\frac{63}{15}=4,2cm$

Phần tử tại M dao động với biên độ cực đại nên:

Từ (1) và (2) ta có: $\left\{\begin{array}{l}k\lambda =3\\ k^{\text{'}}\lambda =4,2cm\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{3}{k}\\ \lambda =\frac{4,2}{k^{\text{'}}}\end{array}\right.$ $\Rightarrow \frac{k}{k^{\text{'}}}=\frac{3}{4,2}=\frac{5}{7}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k=5n\\ k^{\text{'}}=7n\end{array}\right.\left(n\in \mathbb{Z}\right)$

Tần số dao động của nguồn: $f=\frac{v}{\lambda }\Rightarrow f_{\min }\iff {\lambda }_{\max }$ $\iff k_{\min }=5\Rightarrow {\lambda }_{\max }=\frac{3}{5}=0,6cm$ $\Rightarrow f_{\min }=\frac{12}{0,6}=20Hz$