Gọi m là số thực dương sao cho đường thẳng \[y = m + 1\] cắt đồ thị hàm số \[y = {x^4} - 3{x^2} - 2\] tại hai điểm A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ). Kết luận nào sau đây là đúng?

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

+) Tam giác OAB vuông tại O \[ \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OA} = 0\]

Giải chi tiết:

PT hoành độ giao điểm là

Hai đồ thị có 2 giao điểm \[ \Leftrightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \] có 2 nghiệm trái dấu \[ \Leftrightarrow {t_1}{t_2} < 0 \Leftrightarrow - m - 3 < 0 \Leftrightarrow m > - 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\]

Ta có : \[\Delta = 9 - 4\left( { - m - 3} \right) = 21 + 4m\]

Khi đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = \frac{{3 + \sqrt {21 + 4m} }}{2}}\\{{t_2} = \frac{{3 - \sqrt {21 + 4m} }}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} = \sqrt {{t_1}} }\\{{x_B} = - \sqrt {{t_1}} }\end{array}} \right.\]

Suy ra tọa độ hai điểm A,B là \[A\left( {\sqrt {{t_1}} ;m + 1} \right),B\left( { - \sqrt {{t_1}} ;m + 1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left( {\sqrt {{t_1}} ;m + 1} \right)\\\overrightarrow {OB} = \left( { - \sqrt {{t_1}} ;m + 1} \right)\end{array} \right.\]

Tam giác OAB vuông tại O \[ \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow - {t_1} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{{3 + \sqrt {21 + 4m} }}{2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\]

Giải PT kết hợp với điều kiện \[\left( 2 \right) \Rightarrow m = 1 \Rightarrow m \in \left( {\frac{3}{4};\frac{5}{4}} \right)\]