Xét số phức z thỏa mãn \[\frac{{z + 2}}{{z - 2i}}\] là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố đinh. Bán kính của đường tròn đó bằng:

Phương pháp giải:

Gọi \[z = a + bi\], đưa số phức z\[\frac{{z + 2}}{{z - 2i}} = A + Bi\], khi đó \[\frac{{z + 2}}{{z - 2i}} = A + Bi\] là số thuần ảo \[ \Leftrightarrow A = 0\]. Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

Giải chi tiết:

Gọi \[z = a + bi\] ta có:

\[\frac{{z + 2}}{{z - 2i}} = \frac{{\left( {a + 2} \right) + bi}}{{a + \left( {b - 2} \right)i}} = \frac{{\left[ {\left( {a + 2} \right) + bi} \right]\left[ {a - \left( {b - 2} \right)i} \right]}}{{\left[ {a + \left( {b - 2} \right)i} \right]\left[ {a - \left( {b - 2} \right)i} \right]}}\]

\[ = \frac{{\left( {a + 2} \right)a - \left( {a + 2} \right)\left( {b - 2} \right)i + abi + b\left( {b - 2} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}}\]\[ = \frac{{{a^2} + 2a + {b^2} - 2b}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {a + 2} \right)\left( {b - 2} \right) - ab}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}}i\]

\[ \Rightarrow {a^2} + 2a + {b^2} - 2b = 0\]

Để số trên là số thuần ảo ⇒ có phần thực bằng  0 \[ \Rightarrow {a^2} + 2a + {b^2} - 2b = 0\]

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \[I\left( { - 1;1} \right)\], bán kính \[R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} - 0} = \sqrt 2 \].