Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy (ABCD) trùng với trung điểm AB. Biết \[AB = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 2a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = a\sqrt {10} \] . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt đáy là \[{60^0}\] . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

Phương pháp giải:

\[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\] với H là trung điểm của AB.

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB \[ \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\]

Kẻ \[HI \bot BD{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {I \in BD} \right)\] ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot HI}\\{BD \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow BD \bot SI\]

\[ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;HI} \right)} = \widehat {SHI} = {60^0}\]

Xét tam giác vuông ABD có \[AD = \sqrt {10{a^2} - {a^2}} = 3a\]

\[\Delta BHI\] và \[\Delta BDA\] đồng dạng (g.g)

\[ \Rightarrow \frac{{HI}}{{AD}} = \frac{{BH}}{{BD}} \Rightarrow HI = \frac{{BH}}{{BD}}.AD = \frac{a}{{2.a\sqrt {10} }}.3a = \frac{{3\sqrt {10} a}}{{20}}\]

\[ \Rightarrow SH = HI.\tan 60 = \frac{{3\sqrt {30} }}{{20}}a\]

\[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {BC + AD} \right).AB = \frac{1}{2}\left( {2a + 3a} \right).a = \frac{{5{a^2}}}{2}\]

\[ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}\frac{{5{a^2}}}{2}.\frac{{3\sqrt {30} }}{{20}}a = \frac{{\sqrt {30} {a^3}}}{8}\]