Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) có tâm \[I(2{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 0;1)\] và tiếp xúc với đường thẳng d: \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\].

Phương pháp giải:

+ Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d có bán kính \[R = d\left( {I;d} \right)\].

+ Khoảng cách từ II đến dd được tính theo công thức: \[d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\] với M là điểm bất kì thuộc d, \[\overrightarrow {{u_d}} \] là 1 VTCP của đường thẳng d.

+ Phương trình mặt cầu (S) tâm \[I\left( {a;b;c} \right)\] bán kính R có phương trình là: \[{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\]

Giải chi tiết:

Gọi \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;1} \right)\] là 1 VTCP của đường thẳng d. Lấy điểm \[M\left( {1;0;2} \right) \in d\]:

\[\overrightarrow {IM} = \left( { - 1;0;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ,\vec u} \right] = \left( { - 2;2; - 2} \right)\]

\[ \Rightarrow R = d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 .\]

Vậy phương trình mặt cầu tâm \[I\left( {2;0;1} \right)\] bán kính \[\sqrt 2 \] là: \[{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\]