Poloni \[_{84}^{210}Po\] phóng xạ α và biến đổi thành chì \[_{82}^{206}Pb\]. Chu kỳ bán rã là 138 ngày. Cho rằng toàn bộ hạt nhân chì sinh ra trong quá trình phân rã đều có trong mẫu chất. Tại thời điểm \[{t_1}\] tỉ số giữa hạt nhân Poloni và hạt nhân chì có trong mẫu là \[\frac{1}{7}\], tại thời điểm \[{t_2} = {t_1} + \Delta t\]  thì tỉ số đó là \[\frac{1}{{31}}\]. Khoảng thời gian \[\Delta t\] là:

Phương pháp giải:

Sử dụng định luật bảo toàn số nuclon và bảo toàn điện tích để viết phương trình phản ứng hạt nhân.

Số hạt nhân mẹ còn lại sau thời gian t được xác định bởi: \[N = {N_0}{.2^{\frac{{ - t}}{T}}}\]

Số hạt nhân con được tạo thành bằng số hạt nhân mẹ bị phân rã.

Số hạt nhân con được tạo thành sau thời gian t được xác định bởi: \[N' = {N_0} - N = {N_0}.(1 - {2^{\frac{{ - t}}{T}}})\]

Giải chi tiết:

Phương trình phóng xạ: \[_{84}^{210}Po \to _{82}^{206}Pb + _2^4He\]

Số hạt nhân mẹ còn lại sau thời gian t được xác định bởi: \[N = {N_0}{.2^{\frac{{ - t}}{T}}}\]

Số hạt nhân con được tạo thành sau thời gian t được xác định bởi: \[N' = {N_0} - N = {N_0}.(1 - {2^{\frac{{ - t}}{T}}})\]

Tại thời điểm \[{t_1}\] tỉ số giữa hạt nhân Poloni và hạt nhân chì có trong mẫu là \[\frac{1}{7}\] ta có:

\[\frac{{{N_{Po}}}}{{{N_{Pb}}}} = \frac{{{2^{\frac{{ - {t_1}}}{T}}}}}{{1 - {2^{\frac{{ - {t_1}}}{T}}}}} = \frac{1}{7} \Leftrightarrow {2^{\frac{{ - {t_1}}}{T}}} = \frac{1}{8} = {2^{ - 3}}\]

Tại thời điểm \[{t_2} = {t_1} + \Delta t\] thì tỉ số đó là \[\frac{1}{{31}}\] ta có :

\[\begin{array}{l}\frac{{{N_{Po}}}}{{{N_{Pb}}}} = \frac{{{2^{\frac{{ - ({t_1} + \Delta t)}}{T}}}}}{{1 - {2^{\frac{{ - ({t_1} + \Delta t)}}{T}}}}} = \frac{1}{{31}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{2^{\frac{{ - {t_1}}}{T}}}{{.2}^{\frac{{ - \Delta t}}{T}}}}}{{1 - {2^{\frac{{ - {t_1}}}{T}}}{{.2}^{\frac{{ - \Delta t}}{T}}}}} = \frac{{{2^{ - 3}}{{.2}^{\frac{{ - \Delta t}}{T}}}}}{{1 - {2^{ - 3}}{{.2}^{\frac{{ - \Delta t}}{T}}}}} = \frac{1}{{31}}\\ \Leftrightarrow {31.2^{ - 3}}{.2^{\frac{{ - \Delta t}}{T}}} = 1 - {2^{ - 3}}{.2^{\frac{{ - \Delta t}}{T}}} \Leftrightarrow {32.2^{ - 3}}{.2^{\frac{{ - \Delta t}}{T}}} = 1\\ \Leftrightarrow {2^{\frac{{ - \Delta t}}{T}}} = \frac{1}{4} = {2^{ - 2}} \Rightarrow \Delta t = 2T = 276{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ngay} \right)\end{array}\]