Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hỏi phương trình ${\left(x^3-3x^2+2\right)}^3-3{\left(x^3-3x^2+2\right)}^2+2=0$ có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt?

Phương pháp giải:

Đặt $t=x^3-3x^2+2=f\left(x\right)$, dựa vào đồ thị hàm số đã cho tìm ra các nghiệm .

Xét các phương trình $f\left(x\right)=t_i$, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng $y=t_i$ song song với trục hoành.

Giải chi tiết:

Cách giải:

Đặt $t=x^3-3x^2+2=f\left(x\right)$ khi đó phương trình trở thành $t^3-3t^2+2=0$ và hàm số $f\left(t\right)=t^3-3t^2+2$ có hình dáng  như trên. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1-\sqrt{3}\\ t=1\\ t=1+\sqrt{3}\end{array}\right.$

Với $t=1+\sqrt{3}\Rightarrow f\left(x\right)=1+\sqrt{3}$ (1). Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng $y=1+\sqrt{3}$ song song với trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y=1+\sqrt{3}$cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại 1 điểm có hoành độ dương duy nhất nên phương trình (1) có 1 nghiệm dương duy nhất.

Với $t=1\Rightarrow f\left(t\right)=1$(2). Lập luận tương tự như trên ta thấy phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Với $t=1-\sqrt{3}\Rightarrow f\left(t\right)=1-\sqrt{3}\left(3\right)$. Phương trình 3 có 2 nghiệm dương phân biệt.

Vậy phương trình ban đầu có 5 nghiệm dương phân biệt.

Chọn B.

Chú ý khi giải:

Sau khi đặt ẩn phụ và tìm ra được 3 nghiệm t, nhiều học sinh kết luận sai lầm phương trình có 3 nghiệm phân biệt và chọn đáp án A. Số nghiệm của phương trình là số nghiệm x chứ không phải số nghiệm t.