Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là tiếp điểm) và cát tuyến AMN không qua O (M nằm giữa A và N). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng.

a. Tứ giác ABOC nội tiếp.

b. OA ⊥ BC

c. AB² = AM.AN

d. $\widehat{AMH}=\widehat{AON}$

a. Ta có:

$\widehat{\text{OBA}}$= 90° (AB là tiếp tuyến của (O))

$\widehat{\text{OCA}}$= 90° (AC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có $\widehat{\text{OBA}}$+$\widehat{\text{OCA}}$= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

b. Ta có:

AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OB = OC = R.

Suy ra OA là đường trung trực của BC dẫn đến OA vuông góc BC.

c. Xét ∆ ABM và ∆ ANB có:

$\widehat{\text{NAB}}$ là góc chung

$\widehat{\text{ANB}}\text{=}\widehat{\text{ABM}}$ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM)

Suy ra ∆ ABM  ∆ ANB (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{AB}{AN}=\frac{AM}{AB}\iff A{B}^2=AM.AN$(điều phải chứng minh)

d. ∆ ABM đồng dạng ∆ ANB (cmt) nên ta có:

AB² = AM.AN

Mà ta cũng có AB² = AH.AO (∆ ABO vuông tại B có đường cao BH)

Suy ra AM.AN = AH.AO Û $\frac{AM}{AO}=\frac{AH}{AN}$

Xét ∆ AMH và ∆ AON có:

$\widehat{\text{OAN}}$ là góc chung

$\frac{AM}{AO}=\frac{AH}{AN}$ (cmt)

Suy ra ∆ AMH  ∆ AON (c.g.c)

Từ đó suy ra $\widehat{AMH}=\widehat{AON}$ (hai góc tương ứng).