Câu hỏi:

12/07/2024 2,362

Cho các biểu thức:

$A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{x + 2}{x - \sqrt{x} - 2}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 49.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm x để biểu thức P = A.B ≤ $\frac{1}{x + 3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Với x = 49 ta có:

$A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{\sqrt{49} + 1}{\sqrt{49} + 3} = \frac{7 + 1}{7 + 3} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ .

b) Ta có:

$B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{x + 2}{x - \sqrt{x} - 2}$

= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{x + 2}{{\sqrt{x}}^{2} - 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} - 2}

$= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{x + 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} - 2)}$

$= \frac{x + \sqrt{x} - x - 2}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)}$

$= \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$ .

c) P = A.B = $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} . \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$

Ta có P ≤ $\frac{1}{x + 3}$ Û $\frac{1}{\sqrt{x} + 3} \leq \frac{1}{x + 3}$ .

Vì $\sqrt{x} + 3$ và x + 3 đều lớn hơn 0 ( do x ≥ 0) nên bất đẳng thức trên trở thành.

$\Leftrightarrow x - \sqrt{x} \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) \leq 0$

Mà $\sqrt{x} \geq 0$ dẫn đến $\sqrt{x} - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} \leq 1 \Leftrightarrow x \leq 1$ .

Kết hợp với điều kiện đề bài thì 0 ≤ x ≤ 1 thỏa mãn biểu thức.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (C khác A). Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm; tia CO nằm giữa hai tia CM và CA). Gọi D là trung điểm AB.

a) Chứng minh tứ giác CMOD nội tiếp.

b) Chứng minh: CN² = CA.CB

c) ND cắt (O) tại I. Chứng minh: MI // ABư

d) Gọi E là giao điểm của MN và AB. Chứng minh $\frac{2}{C E} = \frac{1}{C A} + \frac{1}{C B}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (C khác A). Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm; tia CO nằm giữa hai tia CM và CA). Gọi D là trung điểm AB. a) Chứng minh tứ giác CMOD nội tiếp. b) Chứng minh: CN2 = CA.CB c) ND cắt (O) tại I. Chứng minh: MI // AB (ảnh 1)

a) Ta có D là trung điểm của AB nên OD ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây).

Ta có: $\hat{O D C}$ = 90° (OD ⊥ AB)

$\hat{O M C}$ = 90° (MC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có $\hat{O D C}$ + $\hat{O M C}$ = 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác CMOD nội tiếp.

b) Xét ∆CAN và ∆CNB có:

$\hat{N C B}$ là góc chung

$\hat{N B A} = \hat{A N C}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AN).

Suy ra ∆CAN đồng dạng ∆CNB (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{C A}{C N} = \frac{C N}{C B} \Leftrightarrow C N^{2} = C A . C B$ (điều phải chứng minh)

c) Ta có:

$\hat{N I M} = \hat{N M C}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung NM)

$\hat{N D C} = \hat{N M C}$ (tứ giác CMOD nội tiếp)

Suy ra $\hat{N I M} = \hat{N D C}$ suy ra BC // IM.

d) Gọi H là giao điểm của MN và OC.

Ta có OM = ON = R.

CN = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra OC là trung trực của MN suy ra OC ⊥ MN.

Xét ∆CEH và ∆COD có:

$\hat{D C O}$ là góc chung

$\hat{E H C} = \hat{O D C}$ = 90° (OD ⊥ AB và MN ⊥ OC)

Suy ra ∆CEH đồng dạng ∆COD (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{C E}{C O} = \frac{C H}{C D} \Leftrightarrow C E . C D = C H . C O$ (1)

Xét tam giác ONC vuông tại N đường cao NH ta có:

NC² = OH.OC

Mà NC² = CA.CB (chứng minh trên)

Suy ra OH.OC = CA.CB (2)

Từ (1) và (2) ta được

CE.CD = CA.CB

Mà CB + CA = 2CA + AB = 2CA + 2DA

= 2(CA + DA) = 2CD

$\Rightarrow C D = \frac{1}{2} (C A + C B)$

Thay vào trên ta được

$\Leftrightarrow \frac{2}{C E} = \frac{C A + C B}{C A . C B}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{C E} = \frac{1}{C A} + \frac{1}{C B}$ (điều phải chứng minh)

Câu 2

1) Giải hệ phương trình sau: ${\begin{cases} \frac{3}{2 x - 7} + \frac{4}{y + 6} = 7 \\ \frac{2}{2 x - 7} - \frac{3}{y + 6} = - 1 \end{cases}$

2) Cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m + 4)x – 4m

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = −2.

Xem đáp án

Lời giải

1) Điều kiện xác định: ${\begin{cases} 2 x - 7 \neq 0 \\ y + 6 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq \frac{7}{2} \\ y \neq - 6 \end{cases}$

Đặt u = $\frac{1}{2 x - 7}$ (u ≠ 0) và v = $\frac{1}{x + 6}$ (v ≠ 0)

Hệ phương trình trở thành ${\begin{cases} 3 u + 4 v = 7 \\ 2 u - 3 v = - 1 \end{cases}$

Û ${\begin{cases} 3. \frac{- 1 + 3 v}{2} + 4 v = 7 \\ u = \frac{- 1 + 3 v}{2} \end{cases}$ Û ${\begin{cases} - 3 + 9 v + 8 v = 14 \\ u = \frac{- 1 + 3 v}{2} \end{cases}$