Cho các biểu thức:

$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+2}{x-\sqrt{x}-2}$ với x ≥ 0, x ≠ 4

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 49.

b) Rút gọn biểu thức B.              

c) Tìm x để biểu thức P = A.B ≤ $\frac{1}{x+3}$

a) Ta có D là trung điểm của AB nên OD ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây).

Ta có: $\widehat{ODC}$= 90° (OD ⊥ AB)

$\widehat{OMC}$= 90° (MC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có $\widehat{ODC}$+$\widehat{OMC}$= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác CMOD nội tiếp.

b) Xét ∆CAN và ∆CNB có:

$\widehat{NCB}$ là góc chung

$\widehat{NBA}=\widehat{ANC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AN).

Suy ra ∆CAN đồng dạng ∆CNB (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{CA}{CN}=\frac{CN}{CB}\iff C{N}^2=CA.CB$ (điều phải chứng minh)

c) Ta có: 

$\widehat{NIM}=\widehat{NMC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung NM)

$\widehat{NDC}=\widehat{NMC}$(tứ giác CMOD nội tiếp)

Suy ra $\widehat{NIM}=\widehat{NDC}$ suy ra BC // IM.

d) Gọi H là giao điểm của MN và OC.

Ta có OM = ON = R.

CN = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra OC là trung trực của MN suy ra OC ⊥ MN.

Xét ∆CEH và ∆COD có:

$\widehat{DCO}$ là góc chung

$\widehat{EHC}=\widehat{ODC}$= 90° (OD ⊥ AB và MN ⊥ OC)

Suy ra ∆CEH đồng dạng ∆COD (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{CE}{CO}=\frac{CH}{CD}\iff CE.CD=CH.CO$ (1)

Xét tam giác ONC vuông tại N đường cao NH ta có:

NC² = OH.OC

Mà NC² = CA.CB (chứng minh trên)

Suy ra OH.OC = CA.CB (2)

Từ (1) và (2) ta được

CE.CD = CA.CB

Mà CB + CA = 2CA + AB = 2CA + 2DA

= 2(CA + DA) = 2CD

$\Rightarrow CD=\frac{1}{2}(CA+CB)$

Thay vào trên ta được

$\iff \frac{2}{CE}=\frac{CA+CB}{CA.CB}$

$\iff \frac{2}{CE}=\frac{1}{CA}+\frac{1}{CB}$ (điều phải chứng minh)

Gọi x (km/h) là vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B (x > 0).

Suy ra vận tốc xe đi từ B về A là x + 10 (km/h)

Thời gian ô tô đi từ A đến B là: $\frac{400}{x}$ (h)

Thời gian ô tô đi từ B về A là: $\frac{400}{x+10}$ (h)

Thời gian ô tô đi từ B vể A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 2 giờ nên ta có phương trình:

$\frac{400}{x}-\frac{400}{x+10}=2$

$\iff \frac{400(x+10)}{x(x+10)}-\frac{400x}{x(x+10)}=\frac{2x(x+10)}{x(x+10)}$

$\iff 400x+4000-400x=2x^2+20x$

$\iff 2x^2+20x-4000=0$

Tính ∆ = b² – 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 2; b = 20; c = −4 000.

∆ = 20² – 4.2.(−4 000) = 400 + 32 000 = 32 400 > 0

Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = $\frac{-20+\sqrt{32400}}{2.2}=40$(thỏa mãn) ; x₂ = $\frac{-20-\sqrt{32400}}{2.2}=-50$(không thỏa mãn).

Vậy vận tốc của ô tô đi từ A đến B là 40 km/h