Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (C khác A). Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm; tia CO nằm giữa hai tia CM và CA). Gọi D là trung điểm AB.

a) Chứng minh tứ giác CMOD nội tiếp.

b) Chứng minh: CN² = CA.CB

c) ND cắt (O) tại I. Chứng minh: MI // ABư

d) Gọi E là giao điểm của MN và AB. Chứng minh $\frac{2}{CE}=\frac{1}{CA}+\frac{1}{CB}$.

a) Ta có D là trung điểm của AB nên OD ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây).

Ta có: $\widehat{ODC}$= 90° (OD ⊥ AB)

$\widehat{OMC}$= 90° (MC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có $\widehat{ODC}$+$\widehat{OMC}$= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác CMOD nội tiếp.

b) Xét ∆CAN và ∆CNB có:

$\widehat{NCB}$ là góc chung

$\widehat{NBA}=\widehat{ANC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AN).

Suy ra ∆CAN đồng dạng ∆CNB (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{CA}{CN}=\frac{CN}{CB}\iff C{N}^2=CA.CB$ (điều phải chứng minh)

c) Ta có: 

$\widehat{NIM}=\widehat{NMC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung NM)

$\widehat{NDC}=\widehat{NMC}$(tứ giác CMOD nội tiếp)

Suy ra $\widehat{NIM}=\widehat{NDC}$ suy ra BC // IM.

d) Gọi H là giao điểm của MN và OC.

Ta có OM = ON = R.

CN = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra OC là trung trực của MN suy ra OC ⊥ MN.

Xét ∆CEH và ∆COD có:

$\widehat{DCO}$ là góc chung

$\widehat{EHC}=\widehat{ODC}$= 90° (OD ⊥ AB và MN ⊥ OC)

Suy ra ∆CEH đồng dạng ∆COD (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{CE}{CO}=\frac{CH}{CD}\iff CE.CD=CH.CO$ (1)

Xét tam giác ONC vuông tại N đường cao NH ta có:

NC² = OH.OC

Mà NC² = CA.CB (chứng minh trên)

Suy ra OH.OC = CA.CB (2)

Từ (1) và (2) ta được

CE.CD = CA.CB

Mà CB + CA = 2CA + AB = 2CA + 2DA

= 2(CA + DA) = 2CD

$\Rightarrow CD=\frac{1}{2}(CA+CB)$

Thay vào trên ta được

$\iff \frac{2}{CE}=\frac{CA+CB}{CA.CB}$

$\iff \frac{2}{CE}=\frac{1}{CA}+\frac{1}{CB}$ (điều phải chứng minh)