Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |x⁴ - 2mx² + 64x| có đúng ba điểm cực trị

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số y = x⁴ - 2mx² + 64x.

Ta có: y' = 4x³ - 4mx + 64 (*)

Phương trình hoành độ giao điểm:$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^3-2mx+64=0\left(1\right)\end{array}\right.$

x⁴ - 2mx² + 64x = 0

Phương trình (1) luôn có một nghiệm x ¹ 0 nên đồ thị hàm số y = x⁴ - 2mx² + 64x cắt Ox ít nhất hai điểm và $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(x^4-2m{x}^2+64x\right)=+\infty$  .

Suy ra để hàm số y = |x⁴ - 2mx² + 64x| có 3 điểm cực trị thì hàm số y = x⁴ - 2mx² + 64x có đúng một điểm cực trị Û phương trình (*) có đúng một nghiệm đơn

$\Rightarrow m=x^2+\frac{16}{x}$ có đúng một nghiệm đơn.

Xét hàm số: $f\left(x\right)=x^2+\frac{16}{x},f\text{'}\left(x\right)=2x-\frac{16}{x^2}.$

Bảng biến thiên: $f\text{'}\left(x\right)=0\iff 2x-\frac{16}{x^2}=0\iff x=2.$

Từ bảng biến thiên suy ra m £ 12.

Suy ra:$\left\{\begin{array}{c}m\in {\mathbb{Z}}^{+}\\ m\le 12\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left\{1;2;3;\mathrm{...};11;12\right\}.$

Vậy có 12 giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |x⁴ - 2mx² + 64x| có đúng ba điểm cực trị.