Đề thi thử Toán vào lớp 10 (chuyên) năm 2026-2027 sở GD&ĐT Phú Thọ

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với B, C cố định và 4 thay đổi sao cho AB < AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Đường thẳng AJ cắt đường tròn (O) tại D, đường tròn đường kính JD cắt đường tròn (O) tại K, khác D.

a) Chứng minh rằng DB = DI và D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC.

b) Gọi E là điểm chính giữa cung lớn BC của đường tròn (O), đường thẳng JB cắt đường tròn ( O) tại F. Chứng minh rằng EF song song với CJ.

c) Trên BK lấy điểm M sao cho MB = MJ. Chứng minh rằng đường thẳng JM luôn đi qua một điểm cố định khi 4 thay đổi.

Câu 5 (1,0 điểm). Xét 2026 số nguyên bất kì được xếp xung quanh một vòng tròn sao cho mỗi số đều lớn hơn tổng của hai số kể tiếp nó (theo chiều kim đồng hồ).

a) Chứng minh rằng trong 2026 số trên tồn tại số âm và có không quá 1013 số dương.

b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu số dương trong 2026 số nguyên thỏa mãn yêu cầu trên.