Đề thi thử Toán vào lớp 10 (chuyên) năm 2026-2027 sở GD&ĐT Đồng Nai

Bài 3. (1,5 điểm)

1. Ban đầu trên bàn có 65 viên bi. Hai bạn Thắng và Chiến chơi trò chơi bốc bị như sau: Hai bạn luân phiên nhau bốc bị từ đống bị đã cho; Thắng là người bốc đầu tiên. Ở mỗi lượt chơi của mình, mỗi bạn bốc tùy ý 1 hoặc 2 hoặc 3 viên bi. Người bốc viên bi cuối cùng trong đống được coi là người thắng cuộc. Chứng minh rằng bạn Thắng luôn có chiến thuật để mình là người chiến thắng.

2. Xét các cặp số nguyên m và n > 2 thỏa mãn:

((n - 1)! - n).(n - 2)! = m(m - 2).

Chứng minh rằng ((n - 1)! - 1)((n - 2)! - 1) là số chính phương và tìm tất cả các cặp (m,n) thỏa điều kiện bài toán. Trong đó kí hiệu: k! = 1.2...k là tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến k.

Bài 5. (3 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC có trực tâm H. Gọi (O1) là đường tròn đi qua H và tiếp xúc với BC tại B, (O2) là đường tròn đi qua H và tiếp xúc với BC tại C. Hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại điểm thứ hai K.

1. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, A, K nằm trên một đường tròn.

2. Gọi M là giao điểm của KH với BC. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn BC.

3. Chứng minh AK//O1O2.